Berechnen Sie die Bogenlänge der Astroide

Question

Die Astroide ist diejenige Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius 1/4 d beschreibt, der innen auf einen Kreis mit Radius d abrollt. Sie wird beschrieben durch die implizite Gleichung

|x|^2/3 + |y|^2/3  = d^2/3   , d∈ R.

Die Parameterdaratellung der Astroide lautet:

\( \vec{a} \) (t) = \( \begin{pmatrix} d cos³t \\ d sin³t \end{pmatrix} \) mit 0 ≤ t ≤ 2π

Berechnen Sie die Bogenlänge der Astroide

(Hinweis: Umgehen Sie das Problem der Fallunterscheidungen beim Wurzel uiehne, indem Sie die Symmtertrie nutzen; integrieren Sie nur über den ersten Quadranten, in dem Sinus und Cosinus positiv sin, und multipilzieren Sie das Ergebnis mit 4.)

Comments

Mal ein Zwischenruf

Hallo,

nachdem Deine Frage nach der Zykloidenlänge ausführlich beantwortet worden ist, solltest Du da nicht in der Lage sein, diese Aufgabe selbst zu rechnen - vielleicht wenigstens bis zum benötigten Integral?

Gruß Mathhilf

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beim INtegrgalr habe ich d * \( \int\limits_{0}^{2pi} \) cos(t)^5 + sin(t) ^5 dt

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Hallo

kannst Du das mal vorrechnen, das kann ich nicht nachvollziehen. Jedenfalls ist dieses Integral gleich 0

Gruß Mathhilf

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Vom Duplikat:

Titel: Asteroide, Umfang und Fläche

Stichworte: umfang,finanzmathematik,parametrisierung,fläche,flächenberechnung

Aufgabe:

Ein Kreis mit Radius 1/4 rollt im Inneren eines Kreises mit Radius 1 ab. Beschreiben
Sie die Bahn eines Punktes P(x, y) auf dem abrollenden Kreis (Hypozykloide) und
zeigen Sie, dass die Gleichung x^2/3 + y^2/3 = 1 erfüllt ist. Eine solche Kurve heißt
Asteroide.
Bestimmen Sie den Umfang (Bogenlänge) und die Fläche des von dieser Asteroiden
umrandeten Bereichs.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf die Parametrisierung der Punkte?

Answer 1

Aloha :)

Wir nutzen die Symmetrie, beschränken uns auf den ersten Quadranten, also \(\varphi\in[0;\frac{\pi}{2}]\), und vervierfachen dafür das Ergebnis:

$$L=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}da(t)=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}\left\|\frac{d\vec a}{dt}\right\|\,dt=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}\left\|\binom{-3d\cos^2t\sin t}{3d\sin^2t\cos t}\right\|\,dt$$$$\phantom{L}=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}\!\!\sqrt{9d^2\cos^4t\sin^2t+9d^2\sin^4t\cos^2t}\,dt$$$$\phantom{L}=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}\!\!\sqrt{9d^2\cos^2t\sin^2t(\cos^2t+\sin^2t)}\,dt$$$$\phantom{L}=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}\!\!\sqrt{9d^2\cos^2t\sin^2t}\,dt=4\!\!\int\limits_0^{\pi/2}\!\!3|d|\cos t\sin t\,dt=12|d|\left[\frac{1}{2}\sin^2t\right]_0^{\pi/2}=6|d|$$

Comments

vielen Dank könntest du mir bei dem Schwerpunkt aufgabe helfen ich komme echt nicht weiter bitte

Answer 2

Hallo cool

du stellst immer wieder einfach deine HA ein, ohne genaue Fragen

ich verstehe deine Fragen zur Kurvenlänge  deshalb nicht. Kennst du die Definition nicht? kannst du das Integral nicht lösen? Bei der Zykloide wurde dir doch vorgerechnet. Wenn dir das nicht hilft, warum sagst du deine genauen Schwierigkeiten nicht?
für Integrale gibt es Integralrechner.de

das Forum sollte dir helfen und nicht zur HA Lösungsmaschine entwertet werden, dann würden wir den erfolg deines Studiums gefährden.

Gruß lul

Answer 3

Beide Fragen existieren bereits.

https://www.mathelounge.de/840097/berechnen-sie-die-bogenlange-der-astroide

PS: Das Teil heißt Astroide und nicht Asteroide

https://de.wikipedia.org/wiki/Astroide