Berechnen Sie die von der Astroide zu d = 1: |x|2/3 +|y|2/3 = 1 eibgeschlossene Fläche mit der …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die von der Astroide zu d = 1: |x|^2/3 +|y|^2/3  = 1 eibgeschlossene Fläche mit der Koordinantentransformation x = ρ cos³Ψ, y = ρ sin³Ψ.

Hinweis:

1. Joki-Determinante D direkt berechnen

2. Vermeiden Sie auhc hier die nötigen Fallunterscheidungen für den Betrag, indem Sie di Symmterie nutzen: Integrieren Sie nur über den ersten Quadranten und multiplizieren Sie das Ergebnis mit 4.

3. Wen den Sie beim sich ergebenden Integral die GLeichung cos²x = 1 -sin²x und sin² = 1- cos²x so lange an, bis keine gemischten Produkte mehr vorhanden sind.

Verwenden Sie dann: \( \int\limits_{0}^{π/2} \) sin⁴  t dt = \( \int\limits_{0}^{π/2} \)  cos⁴ t dt = 3/16 π;

\( \int\limits_{0}^{π/2} \) sin⁶ t dt = \( \int\limits_{0}^{π/2} \)  cos⁶ t dt = 15/96 π;

Comments

Auch hier die Frage: Was genau kannst du trotz der genauen Anweisungen nicht?

lul

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wie ich substiuerien kann könntest du mir den Ansatz mal zeigen

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Hallo

zeig endlich was du rechnest! welchen Ansatz meinst du ? den gegebenen Ansatz in die Gleichung einsetzen meinst du hoffentlich nicht?

lul

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L = \( \int\limits_{0}^{2pi} \) da(t) = d \( \int\limits_{0}^{2pi} \)  || \( \begin{pmatrix} cos³t \\ sin³t \end{pmatrix} \) || dt = d \( \int\limits_{0}^{2pi} \)  \( \sqrt{(cos³(t))² + (sin³(t))²} \) =

d \( \int\limits_{0}^{2pi} \)  cos(t) ^5 +sin(t)^5 dt

Answer 1

Aloha :)$$\binom{x}{y}=\binom{\rho\cos^3\varphi}{\rho\sin^3\varphi}\quad;\quad\rho\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang der Integrationsvariabeln \((x,y)\to(\rho,\varphi)\) wird das Flächenelement verzerrt, die Jacobi-Determinante gibt Ausfunkft üben den Faktor, um den sich das Fächenelement ändert. Da wir nachher über diesen Faktor integrieren müssen, geben wir uns bei der Umformung etwas Mühe, damit er möglichst leicht integrierbar ist.

$$\frac{dx\,dy}{d\rho\,d\varphi}=\begin{vmatrix}\partial_\rho x & \partial_\varphi x\\\partial_\rho y & \partial_\varphi y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos^3\varphi & -3\rho\cos^2\varphi\,\sin\varphi\\\sin^3\varphi & 3\rho\sin^2\varphi\cos\varphi\end{vmatrix}$$$$\qquad=3\rho\sin^2\varphi\cos^4\varphi+3\rho\cos^2\varphi\sin^4\varphi=3\rho\sin^2\varphi\cos^2\varphi(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)$$$$\qquad=3\rho(\sin\varphi\cos\varphi)^2=3\rho\left(\frac{1}{2}\sin(2\varphi)\right)^2=\frac{3\rho}{4}\sin^2(2\varphi)=\frac{3\rho}{8}\,\left(2\sin^2(2\varphi)\right)$$$$\qquad=\frac{3\rho}{8}\,\left(1-\cos^2(2\varphi)+\sin^2(2\varphi)\right)=\frac{3\rho}{8}\,\left(1-\left[\cos^2(2\varphi)-\sin^2(2\varphi)\right]\right)$$$$\qquad=\frac{3\rho}{8}\left(1-\cos(4\varphi)\right)$$

Nun bestimmen wir die Fläche im 1-ten Quadranten, d.h. \(\varphi\in[0;\pi/2]\), und nutzen die Symmetrie aus, indem wir das Ergebnis vervierfachen:

$$F=4\int\limits_{\rho=0}^1\,\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\frac{3\rho}{8}\left(1-\cos(4\varphi)\right)\,d\rho\,d\varphi=\int\limits_{0}^1\frac{3\rho}{2}\,d\rho\cdot\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(1-\cos(4\varphi)\right)\,d\varphi$$$$\phantom{F}=\left[\frac{3\rho^2}{4}\right]_0^1\cdot\left[\varphi-\frac{1}{4}\sin(4\varphi)\right]_0^{\pi/2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\boxed{\frac{3\pi}{8}}$$