Analysis Metrische Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Seien (X,d),(W,d') wobei d die diskrete Metrik und d' eine beliebige Metrik sei. Beweisen Sie, dass jede Abbildung f : X → W stetig ist.

Problem/Ansatz:

Muss man nicht eine Stetige funktion durch eine bestimmte punkt beweisen? Bei stetig muss man zeigen lim x→a f(x)=f(a) und  d ist diskrete und ich kann sagen d(x,y)= 1 dann x≠y und wenn d(x,y)=0 dann x=y aber wie kann ich d' schreiben. ich denke es hat etwas mit dem komposition zu tun?

wie mach ich es genau?

dankee

Comments

Überleg Dir mal, was Du über eine Folge (x_n) in X sagen kannst,  wenn diese Folge gegen einen Punkt a konvergiert.

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mit der epsilon delta argument?

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Ich habe nur nach Folgenkonvergenz gefragt. Was soll da ein delta epsilon Argument sein?

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Text erkannt:

Aufgabe 4:
\( 2 p t \)
Wir wollen zeigen dass sei ein \( y \in X \) und \( f: X \rightarrow W \) eine Abbildung dann \( \mathrm{f} \) ist genau dann stetig in y wenn für jede Folge \( \left(X_{n}\right)_{n \in N} \) in X die \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=y \) erfüllt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(y) \) :
\( \text { 1. }(\Rightarrow)(\mathrm{X}, \mathrm{d})-\mathrm{d}(\mathrm{x}, \mathrm{y})(\mathrm{W}, \bar{d})-\bar{d}(f(x), f(y)) \)
Wir nehmen eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in N} \) in X mit lim \( _{n \rightarrow \infty} x_{n}=y \).
\( \epsilon>0 \) und \( \mathrm{f} \) ist stetig in y dann gibt es ein \( \delta>0 \) so dass:
\( d(x, y)<\delta \) folgt dass \( \bar{d}(f(x), f(y))<\epsilon \) somit ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(x)=f(y) \)
2. \( (\Leftarrow) \) Angenommen \( \mathrm{f} \) ist nicht stetig in y dann gab es ein \( \epsilon>0 \) und einee Folge \( \left(X_{n}\right)_{n \in N} \) in X mit \( x_{n} \rightarrow x_{0} \) sodass \( \bar{d}\left(f\left(x_{n}\right), f(y)\right) \geq \epsilon, \forall n \).
\( f(x) \rightarrow f(y) \) und deshalb gibt es ein \( \mathrm{N} \) sodass \( \bar{d}\left(f\left(x_{n}\right), f(y)\right)<\epsilon, \forall n \geq N \)
Wir sehen dass auch \( \bar{d}\left(f\left(x_{n}\right), f(y)\right) \geq \epsilon \) und auch \( \bar{d}\left(f\left(x_{n}\right), f(y)\right)<\epsilon \) was zusammen ein wiederspruch ist deshalb \( \mathrm{f} \) ist stetig in \( \mathrm{y} \).

is das richtig?

Answer 1

Hallo,

ich verstehe nicht, warum Du jetzt eine andere Aufgabe in den Kommentar rein schreibst.

Ich schreibe mal die Lösung für die ursprüngliche Frage auf:

Wir prüfen Stetigkeit von f im Punkt \(a \in X\). Dazu betrachten wir eine beliebige Folge \((x_n)\) mit \(x_n \to a\). Wegen dieser Konvergenz existiert ein natürliches N mit

$$\forall n \geq N: \quad d(x_n,a)< 0.5 \text{  (zum Beispiel)}$$

Weil d die diskrete Metrik ist, folgt für \(n \geq N\), dass \(x_n=a\). D.h. die Folge \(x_n\) ist ab einem Index konstant. Das überträgt sich auf die Folge \((f(x_n))\) der Bilder. Jede ab einem Index konstante Folge ist auch konvergent. Also gilt:

\(f(x_n) \to f(a)\).

Gruß Mathhilf