Aufgabe:
Invarianz der Schrittweitensteuerung.
Gegeben sei ein Anfangswertproblem eines Systems aus gew. Dgln. mit Anfangspunkt \( x_{0}=0 \). Betrachtet wird eine Skalierung der unabhängigen Variablen, d.h. \( x=\mu t \) mit einer Konstanten \( \mu>0 \). Es entstehen die beiden Probleme
\( \begin{aligned} y^{\prime}(x) &=f(x, y(x)), \quad y(0)=y_{0}, \quad x \in\left[0, x_{\text {end }}\right] \\ z^{\prime}(t) &=\mu f(\mu t, z(t)), \quad z(0)=y_{0}, \quad t \in\left[0, \frac{x_{\text {end }}}{\mu}\right] \end{aligned} \)
a) Zeigen Sie, dass ein Runge-Kutta-Verfahren invariant bezüglich dieser Skalierung ist, d.h. die Näherungen \( y_{1} \approx y(h) \) und \( z_{1} \approx z(\tilde{h}) \) mit \( \tilde{h}=\frac{h}{\mu} \) stimmen überein.
b) In der Schrittweitensteuerung ergibt sich die neue Schrittweite aus
\( h_{\mathrm{neu}}=\delta \cdot h_{\mathrm{used}} \cdot \frac{1}{\sqrt[p+1]{\mathrm{ERR}}} \)
mit der Fehlernorm ERR
\( \mathrm{ERR}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\hat{y}_{i}^{h_{\text {used }}}-y_{i}^{h_{\text {used }}}}{\text { ATOL }+\text { RTOL } \cdot \mid y_{i}^{h_{\text {used }} \mid}}\right)^{2}} \)
und einem Sicherheitsfaktor \( \delta \in(0,1) \). Es sei ein eingebettetes Runge-Kutta-Verfahren verwendet. Zeigen Sie, dass diese Schrittweitensteuerung invariant bezüglich der Skalierung ist, d.h. \( \tilde{h}_{\text {neu }}=\frac{h_{\text {neu }}}{\mu} \) falls \( \tilde{h}_{\text {used }}=\frac{h_{\text {used }}}{\mu} \).
Hey, kann mir jemand dabei helfen?
Danke :))
