Aufgabe: Einseitige Lipschitz-Bedingung.
Zu einem Differentialgleichungssystem \( y^{\prime}=f(x, y) \) lautet die einseitige Lipschitz-Bedingung
\( \langle f(x, y)-f(x, z), y-z\rangle \leq \nu\|y-z\|^{2} \)
für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( y, z \in \mathbb{R}^{n} \) mit einer Konstante \( \nu \in \mathbb{R} \) sowie dem Euklidischen Skalarprodukt und der Euklidischen Norm.
a) Seien \( y, z:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) zwei Lösungen des Differentialgleichungssystems. Beweisen Sie, dass aus der einseitigen Lipschitz-Bedingung die Ungleichung
\( \|y(x)-z(x)\| \leq\|y(0)-z(0)\| \mathrm{e}^{\nu x} \)
für \( x \geq 0 \) folgt. Was impliziert diese Ungleichung falls \( \nu<0 \) gilt?
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion \( m(x)=\|y(x)-z(x)\|^{2} . \)
b) Sei \( f(x, y)=A y \) mit einer symmetrischen, negativ definiten Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \). Zeigen Sie, dass dann die einseitige Lipschitz-Bedingung mit einer Konstanten \( \nu<0 \) erfüllt ist.
c) Für komplexwertige Differentialgleichungen lautet die einseitige Lipschitz-Bedingung
\( \operatorname{Re}\langle f(x, y)-f(x, z), y-z\rangle \leq \nu\|y-z\|^{2} . \)
Zeigen Sie, dass diese Bedingung von der Dahlquist'schen Testgleichung erfüllt wird und geben Sie eine zugehörige Konstante \( \nu \) an.
Hallo, Ich habe diese Aufgabe bekommen.
Könnte mir jemand helfen? :)
Liebe Grüße
