Einseitige Lipschitz-Bedingung - Differentialgleichung

Question

Aufgabe: Einseitige Lipschitz-Bedingung.

Zu einem Differentialgleichungssystem $y^{\prime}=f(x, y)$ lautet die einseitige Lipschitz-Bedingung
$\langle f(x, y)-f(x, z), y-z\rangle \leq \nu\|y-z\|^{2}$
für alle $x \in \mathbb{R}$ und $y, z \in \mathbb{R}^{n}$ mit einer Konstante $\nu \in \mathbb{R}$ sowie dem Euklidischen Skalarprodukt und der Euklidischen Norm.

a) Seien $y, z:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ zwei Lösungen des Differentialgleichungssystems. Beweisen Sie, dass aus der einseitigen Lipschitz-Bedingung die Ungleichung
$\|y(x)-z(x)\| \leq\|y(0)-z(0)\| \mathrm{e}^{\nu x}$
für $x \geq 0$ folgt. Was impliziert diese Ungleichung falls $\nu<0$ gilt?
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion $m(x)=\|y(x)-z(x)\|^{2} .$

b) Sei $f(x, y)=A y$ mit einer symmetrischen, negativ definiten Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Zeigen Sie, dass dann die einseitige Lipschitz-Bedingung mit einer Konstanten $\nu<0$ erfüllt ist.

c) Für komplexwertige Differentialgleichungen lautet die einseitige Lipschitz-Bedingung
$\operatorname{Re}\langle f(x, y)-f(x, z), y-z\rangle \leq \nu\|y-z\|^{2} .$
Zeigen Sie, dass diese Bedingung von der Dahlquist'schen Testgleichung erfüllt wird und geben Sie eine zugehörige Konstante $\nu$ an.

Hallo, Ich habe diese Aufgabe bekommen.

Könnte mir jemand helfen? :)

Liebe Grüße

Comments

Hallo,

berechne die Ableitung von m und verwende die Differentialgleichung.

Gruß Mathhilf

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Wie kann man Norm ableiten? Kannst du mir helfen?

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Es ist ja die Norm zum Quadrat, also

$$m(x)=\|y(x)-z(x)\|^2=\langle y(x)-z(x),y(x)-z(x)\rangle$$

Die Ableitung erfolgt nach der Produktregel:

$$m'(x)=\langle y'(x)-z'(x),y(x)-z(x)\rangle+\langle y(x)-z(x),y'(x)-z'(x)\rangle$$

$$=2\langle y'(x)-z'(x),y(x)-z(x)\rangle$$

Und jetzt gehts weiter mit der Verwendung der Differentialgleichung....

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mit der Verwendung der Differentialgleichung

wie meinst du das?

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Ersetze y'(x) durch f(x,y(x))...