Zeige die Ungleichungen mit Hilfe einer geeigneten geometrischen Reihe.

Question

Aufgabe:

8.4. Sei \( s_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \) und \( e=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n} \) die Euler'sche Zahl.
(a) Zeige die Ungleichungen \( 0<e-s_{n}<\frac{1}{n \cdot n !} \) für \( n \in \mathbb{N} \), mit Hilfe einer geeigneten geometrischen Reihe.
(b) Bestimme mit Hilfe von (a) eine Zahl \( N \in \mathbb{N} \), für die \( \left|e-s_{N}\right| \leqslant 0.5 \cdot 10^{-4} \) gilt, und gib den Wert von \( s_{N} \) an.
(c) Zeige, dass die Euler'sche Zahl \( e \) irrational ist.
Hinweis: Gegenteil annehmen, \( e-s_{n} \) betrachten und (a) benutzen.

Problem/Ansatz:

kann jemand mir diese Aufgabe erklären und helfen ??? und Danke im Voraus

Answer 1

Hallo,

nach Definition ist

$$e-s_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

Um diese Summe nach oben abzuschätzen, schätzen wir \(k!\) für \(k \geq n+1\) nach unten ab:

$$k!=n!\cdot(n+1)\cdot(n+2) \cdots (n+k-n) \geq n! (n+1)^{k-n}$$

(Strikte Ungleichung für k>n+1). Damit

$$e-s_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n!} \sum_{k=n+1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}\right)^{k-n}=\frac{1}{n \cdot n!}$$

b) ist ja eine reine Rechenaufgabe.

Gruß Mathhilf