1) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \( A x=b \) über \( \mathbb{F}_{2} \) mit dem Gaußalgorithmus und geben Sie die Lösungsmenge \( \mathscr{L}(A \mid b) \), wie in der Vorlesung, in der Form \( x+\mathscr{L}(A \mid 0) \) an.
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad x=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
Welche Dimension hat \( \mathscr{L}(A \mid 0) \) ? Listen Sie zusätzlich alle Lösungsvektoren auf.
2) Berechnen Sie den Rang der Matrix \( (A \mid b) \). In welchem Zusammenhang steht dieser mit der Dimension von \( \mathscr{L}(A \mid 0) \) ?
