Zeigen Sie, dass B := {p1, p2, p3} eine Basis von V ist.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie den ℝ-Vektorraum V := ℝ[t]_≤2 und die Polynome p1, p2, p3 ∈ V ,
p1 :=t²+t+1, p2 :=t² +2, p3 :=1.

(a) Zeigen Sie, dass B := {p1, p2, p3} eine Basis von V ist.

(b) Finden Sie ein Skalarprodukt, bezüglich dessen B eine Orthonormalbasis von V ist. Geben Sie das Ergebnis des Skalarprodukts zwischen zwei beliebigen Polynomen der Form a₀ + a₁t + a₂t² und b₀ + b₁t + b₂t² explizit an.

Problem/Ansatz:

a) Ich dachte ich kann die Vektoren aus den Polynomen nehmen und dann gucken ob sie linear unabhängig sind denn dann bilden sie dies Basis? Aber denke der Ansatz ist falsch .

p₁=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

p₂=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \)

p₃=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

b) ?

Answer 1

Bei a) musst du nur ergänzen, dass ja (bekanntlich) t^2 , t , 1 eine

Basis von V bilden und wenn du die gegebenen Polynome

mit linear unabhängigen Koeffizientenvektoren aus R^3

darstellst, dann sind die gegebenen Polynome auch lin. unabh.