Zeigen Sie, dass (K2, +, ·) genau dann ein Körper ist, wenn −1 in K keine Quadratwurzel besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Man betrachte die folgenden Verknüpfungen
+ und · auf K² = K × K:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

(a) Zeigen Sie, dass (K2, +, ·) genau dann ein Körper ist, wenn −1 in K keine Quadratwurzel besitzt.
Hinweis. (K2, +, ·) ist immer ein kommutativer Ring. Zur Implikation ⇒, zeigen Sie:
Falls i ∈ K eine Quadratwurzel von −1 ist, dann hat (1, i) ∈ K2 kein multiplikatives
Inverses.
(b) Schließen Sie daraus, dass ein Körper mit genau 9 Elementen existiert.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht genau wie ich in einem Körper ein Multiplikatives Inverses Nachweisen kann. Muss ich mir das angegebene Element nehmen und laut der angegebenen Regeln ins Quadrat nehmen. Oder braucht i direkt mit

i^-1  ersetzen? und was ist dann mein Ziel? Ich will ja gar kein Inverses finden sondern am ende auf eine Falsche Lösung kommen damit gezeigt wurde, dass -1 nicht enthalten ist.

Answer 1

Ich verstehe leider nicht genau wie ich in einem Körper ein Multiplikatives Inverses Nachweisen kann.

Du musst zeigen, dass es zu diesem x kein anderes Element y gibt

mit x*y=1.

In deinem Fall wohl so: Sei i∈K mit i^2=-1 und    x=(1, i) ∈ K²  .

Angenommen (a,b) ∈ K^2 sei das Inverse von x.

==>   (1,i)*(a,b) = (1,0) [ Das ist die 1 in K^2 ]

Gemäß (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) ist das

(a - ib , b+ia) = (1,0)

a-ib=1 und b+ia=0

==> a-ib=1 und b=-ia

==>  a -i*(-ia) = 1

==>  a+i^2 * a = 1

==> a *( 1 +i^2 ) = 1

wegen i^2 = -1 würde gelte a*0=1 <=>  0=1 .

Das gibt es in einem Körper aber nicht.

Sei K der Restklassenkörper modulo 3.

Der hat genau 3 Elemente und -1 ist hier

kein Quadrat. Also ist der - wie oben gebildete -

Körper K^2 einer mit 9 Elementen.