Aufgabe:
Wir haben auf Z×N die folgende Relation definiert und wissen bereits, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, die mit der Addition und Multiplikation aus verträglich ist.
Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element bzgl. der Addition gibt, d.h. eine Äquivalenzklasse (e,f) (mit Strich drüber), sodass
∀(a,b)∈Z×N gilt (e,f)⊕(a,b)≡(a,b) .
Zeigen Sie, dass es zu jedem Element (a,b)∈Z×N ein inverses Element (x,y)∈Z×N gibt, sodass (a,b)⊕(x,y)≡(e,f) , wobei (e,f) ein Repräsentant der obigen Klasse des neutralen Elements ist.
Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt, d.h. eine Äquivalenzklasse (g,h) (wieder mit Strich drüber), sodass ∀(a,b)∈Z×N gilt (g,h)⊙(a,b)≡(a,b) .
Zeigen Sie, dass es zu jedem Element (a,b)∈Z∖{0}×N ein inverses Element (x,y)∈Z×N gibt, sodass
(a,b)⊙(x,y)≡(g,h) , wobei (g,h) ein Repräsentant der obigen Klasse des neutralen Eleme nts ist.
Problem/Ansatz:
Hi ich bin mir hier noch sehr unsicher, wie ich das alles beweisen kann.
Zum ersten hatte ich mir überlegt das es eigentlich nur 0 sein kann, aber was ist dann die Äquivalenzklasse und wie beweise ich das.
Beim zweiten das gleiche da muss ja eigentlich (x, y) = (-a, - b) sein oder nicht aber wie beweist man das
Beim dritten hätte ich - 1, aber was ist dann wieder die Äquivalenzklasse und auch wieder, wie beweist man sowas und beim vierten habe ich noch keine Idee.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, danke schonmal :)
