G2 ist das zweite Axiom einer Gruppe (es gibt ein neutrales und inverses Element).
Sei ein festes \(a \in G\) und es gibt folgende Abbildungen
\(t_a: G\rightarrow G, x \mapsto x \cdot a\)
\(_a t: G \rightarrow G, x \mapsto a \cdot x \)
Lemma: Ist \(G\) eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so folgt G2 aus der Surjektivität der beiden Abbildungen für alle \(a \in G\).
Eine Verknüpfung auf \(G = \{a_1, ..., a_n\} \) kann man dadurch angeben, dass man die Werte \(a_i \cdot a_j \) in einer Verknüpfungstafel aufschreibt. Dabei steht \(a_i \cdot a_j \) in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Tafel.
A: Ob G2 erfüllt ist, erkennt man nach obigem Lemma daran, ob jede Zeile und jede Spalte der Tafel eine Permutation von \(a_1, ..., a_n \) ist.
Nach der langen Theorie endlich meine Fragen.
1) Ist die Surjektivität bei dem Lemma eine Voraussetzung? Das ist schwer aus dem Text zu entnehmen, aber wenn ich das richtig sehe, kann ich alleine aus den Abbildungen und der assoziativen Verknüpfung auf die Surjektivität nicht schließen oder?
2) Wie kann ich bei "A" nach dem Lemma schlussfolgern, dass G2 aus der Permutation aller Zeilen und Spalten folgt? Muss ich also zeigen, dass aus der Permutation Assoziativität und Surjektivität der beiden Abbildungen folgt, denn dann kann ich das Lemma benutzen das bereits bewiesen wurden? Und wie mache ich das?