Axiom G2 (es gibt ein neutrales und ein inverses Element) der Gruppe beweisen für Abbildungen

Question

G2 ist das zweite Axiom einer Gruppe (es gibt ein neutrales und inverses Element).

Sei ein festes \(a \in G\) und es gibt folgende Abbildungen

\(t_a: G\rightarrow G, x \mapsto x \cdot a\)

\(_a t: G \rightarrow G, x \mapsto a \cdot x \)

Lemma: Ist \(G\) eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so folgt G2 aus der Surjektivität der beiden Abbildungen für alle \(a \in G\).

Eine Verknüpfung auf \(G = \{a_1, ..., a_n\} \) kann man dadurch angeben, dass man die Werte \(a_i \cdot a_j \) in einer Verknüpfungstafel aufschreibt. Dabei steht \(a_i \cdot a_j \) in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Tafel.

A: Ob G2 erfüllt ist, erkennt man nach obigem Lemma daran, ob jede Zeile und jede Spalte der Tafel eine Permutation von \(a_1, ..., a_n \) ist.

Nach der langen Theorie endlich meine Fragen.

1) Ist die Surjektivität bei dem Lemma eine Voraussetzung? Das ist schwer aus dem Text zu entnehmen, aber wenn ich das richtig sehe, kann ich alleine aus den Abbildungen und der assoziativen Verknüpfung auf die Surjektivität nicht schließen oder?

2) Wie kann ich bei "A" nach dem Lemma schlussfolgern, dass G2 aus der Permutation aller Zeilen und Spalten folgt?  Muss ich also zeigen, dass aus der Permutation Assoziativität und Surjektivität der beiden Abbildungen folgt, denn dann kann ich das Lemma benutzen das bereits bewiesen wurden? Und wie mache ich das?

Answer 1

Hi,

1) Ja die Voraussetzung ist essentiell.

2) Die Zeilen deiner Tabelle sind grade die Abbildungen der Form

$$ _a t $$

Die Spalten deiner Tabelle sind grade die Abbildungen der Form

$$t_a$$

Die Abbildungen bleiben ja auf der Gruppe, das heißt, wenn eine der Abbildung surjektiv sein soll, dann müssen alle Gruppenelemente im Bild vorkommen (das was in der zeile bzw. Spalte steht). Da die Abbildung aber als Definitonsmenge auch die Gruppenelemente besitzt bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement ein anderes Bild hat (injektiv ist sie also somit auch ;)). Deswegen müssen ja grade eine Permutation der Gruppenelemente das Bild dieser Abbildung sein.

Sind alle Zeilen und Spalten also Permuationen der Gruppen => alle deine obigen Abbildungen sind surjektiv => du kannst dein Lemma anwenden.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

vielen Dank für Deine Hilfe. Du schreibst "Sind alle Zeilen und Spalten also Permuationen der Gruppen => alle deine obigen Abbildungen sind surjektiv => du kannst dein Lemma anwenden."

Die erste Implikation kann ich nachvollziehen, aber die zweite nicht, denn mein Lemma benutzt Surjektivität und Assoziativität. Wir wissen durch die Matrix aber nur, dass die beiden Abbildungen surjektiv, deshalb kann ich mein Lemma nicht anwenden und das ist mein Problem.

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durch die Verwendung dieser Abbildungen wird jede Verwendung der Verknüpfung mit einem bestimmten Element mit einer Permutation gleich gesetzt. Die Anwendung von Permutationen ist ist assoziativ. Demnach ist deine Gruppenverknüpfung ebenfalls assoziativ.

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Yakyu, noch mal danke für Deine Antwort. Leider habe ich nicht allzu viel verstanden. Du sprichst z.B. von einer Gruppe was ich nicht verstehe, da wir nicht notwendig mit einer Gruppe zu tun haben.

Außerdem, verstehe ich doch nicht warum ich in dem Fall die Assoziativität brauche. Ich dachte zuerst folgendermaßen zu argumentieren:

Permutationen => Surjektivität von \(t_a\) und \(_a t\) und Assoziativität der Verknüpfung von \(G\) =>(Lemma 2) G2

Das wurde aber heißen, dass ich aus den Permutationen nicht nur G2 beweisen würde, sondern sogar, dass \(G\) eine Gruppe ist. Jetzt weiß ich, dass Permutationen aber nur G2 implizieren und nicht notwendigerweise, dass \(G\) eine Gruppe sein muss (d.h. Permutationen müssen keine Assoziativität implizieren).

Wie soll mir in dem Fall mein Lemma weiter helfen? Vielleicht sage ich noch dazu, dass das Lemma sich aus zwei Teilen zusammen setzt. Den ersten habe ich weggelassen, da ich dachte, dass er nicht relevant sei. Vielleicht habe ich mich geirrt, deshalb schreibe ich den mal auf.

Lemma 1): Ist \(G\) eine Gruppe, so sind für jedes \(a \in G\) die Abbildungen \(t_a\) und \(_a t\) bijektiv.

Jetzt bin ich also total verwirrt und bitte noch mal um ausführliche Erklärung. Es geht also nochmal darum, wie man aus der Tatsache, dass jede Zeile und jede Spalte eine Permutation von \(a_1, ..., a_n \) ist, nach dem Lemma auf das Gruppenaxiom G2 kommt.