Aufgabe:
Wir haben auf ℤ×ℕ die folgende Relation definiert und wissen bereits, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, die mit der Addition und Multiplikation verträglich ist.
(a1,a2)≡(b1,b2):⇔a1⋅b2=a2⋅b1
für (a1,a2),(b1,b2)∈ℤ×ℕ.
1) Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element bezüglich der Addition gibt, d.h. eine Äquivalenzklasse (e,f) ((e,f) hat eigentlich einen Strich drüber), sodass ∀(a,b)∈ℤ×ℕ gilt (e,f)⊕(a,b)≡(a,b)
2) Zeigen Sie, dass es zu jedem Element (a,b)∈ℤ×ℕ ein inverses Element (x,y)∈ℤ×ℕ gibt, sodass (a,b)⊕(x,y)≡(e,f), wobei (e,f) ein Repräsentant der obigen Klasse des neutralen Elements ist.
3) Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt, d.h. eine Äquivalenzklasse (g,h) ((g,h) hat eigentlich einen Strich drüber), sodass ∀(a,b)∈ℤ×ℕ gilt (g,h)⊙(a,b)≡(a,b)
4) Zeigen Sie, dass es zu jedem Element (a,b)∈ℤ∖{0}×ℕ ein inverses Element (x,y)∈ℤ×ℕ gibt, sodass (a,b)⊙(x,y)≡(g,h) , wobei (g,h) ein Repräsentant der obigen Klasse des neutralen Elements ist.
Könnte mir jemand bei den Aufgaben helfen? Ich habe da gerade leider keine Ideen zu