Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element der Addition gibt

Question

Aufgabe:

Wir haben auf ℤ×ℕ die folgende Relation definiert und wissen bereits, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, die mit der Addition und Multiplikation verträglich ist.
(a1,a2)≡(b1,b2):⇔a1⋅b2=a2⋅b1
für (a1,a2),(b1,b2)∈ℤ×ℕ.

1) Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element bezüglich der Addition gibt, d.h. eine Äquivalenzklasse (e,f) ((e,f) hat eigentlich einen Strich drüber), sodass ∀(a,b)∈ℤ×ℕ gilt (e,f)⊕(a,b)≡(a,b)

2) Zeigen Sie, dass es zu jedem Element (a,b)∈ℤ×ℕ ein inverses Element (x,y)∈ℤ×ℕ gibt, sodass (a,b)⊕(x,y)≡(e,f), wobei (e,f) ein Repräsentant der obigen Klasse des neutralen Elements ist.

3) Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt, d.h. eine Äquivalenzklasse (g,h) ((g,h) hat eigentlich einen Strich drüber), sodass ∀(a,b)∈ℤ×ℕ gilt (g,h)⊙(a,b)≡(a,b)

4) Zeigen Sie, dass es zu jedem Element (a,b)∈ℤ∖{0}×ℕ ein inverses Element (x,y)∈ℤ×ℕ gibt, sodass (a,b)⊙(x,y)≡(g,h)  , wobei (g,h) ein Repräsentant der obigen Klasse des neutralen Elements ist.

Könnte mir jemand bei den Aufgaben helfen? Ich habe da gerade leider keine Ideen zu

Answer 1

1) Dazu muss man die Def. von ⊕ kennen, die du leider nicht zitierst.

Ein Blick in meine Glaskugel verrät aber, dass es wohl so ist:

(x,y)⊕(u,v):=(xv+yu, yv)

Du musst also eine Klasse (bedeutet der Strich drüber) finden, für die gilt

 ∀(a,b)∈ℤ×ℕ gilt (e,f)⊕(a,b)≡(a,b)

nach der Def. (wenn sie denn so ist)

         (e,f)⊕(a,b)   ≡    (eb+fa,fb)  ≡ ( a,b)

Da nimmst du am besten die Klasse (0,1); denn

(0,1)⊕(a,b)≡(0*b+a*1,1*b)≡ (a,b) .

entsprechend bei den anderen auch: Def. anwenden

und schauen was passt.

Lass dich von den Regeln der Bruchrechnung leiten.

Comments

Dankeschön,

(a1,a2)⊕(b1,b2):=(a1⋅b2+b1⋅a2,a2⋅b2) das ist die Def, also passt das ja mit deinem :)