Hallo :-)
Zum Begriff einer Involution lässt sich erstmal Grob sagen: Es ist eine Abbildung der Form $$ f:\space A\to A, $$
die für alle \(x\in A\) die Eigenschaft \((f\circ f)(x)=f(f(x))=x\) erfüllt. Und weil das für alle \(x\in A\) gilt, schreibt man in Kurzform \(f\circ f=Id_A\). In Worten: Die Elemente aus \(A\) werden unter \(f\) wieder auf sich selbst abgebildet. Es handelt sich also um eine eineindeutige Zuordnung, ist also eine bijektive Abbildung. An der Eigenschaft \(f\circ f=Id_A\) sieht man auch, dass \(f\) zu sich selbst invers ist, d.h., es gilt \(f^{-1}=f\).
Beispiele:
(1) \(f:\space \mathbb{R} \to \mathbb{R},\space x\mapsto x\)
(2) \(f:\space \mathbb{R\setminus \{0\}} \to \mathbb{R}\setminus\{0\},\space x\mapsto \frac{1}{x}\)
(3) \(f:\space \mathbb{C} \to \mathbb{C},\space z\mapsto \overline{z}\)
All solche Abbildungen kann man zu einer Menge (Beispiele verwenden verschiedene Definitions -und Wertebereiche) zusammenfassen, zb so hier:
\(\operatorname{Invo}(A):=\{f:\space A\to A|\space f\circ f=Id_A\}\).
Diese Menge ist zusammen mit der Verknüpfung eine Gruppe auf der Grundmenge \(A\).
Das neutrale Element ist ja die Identität auf \(A\), denn es gilt ja \(Id_A\circ Id_A=Id_A\).
Verknüpfungen sind hier offenbar assziativ und für eine belibige Involution \(f:\space A\to A\) ist wegen \(f\circ f=Id_A\), die Abbildung \(f^{-1}:\space A\to A\) die Inverse von \(f\). Also ist \(\operatorname{Invo}(A)\) eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung bestehend aus involutorischen Funktionen (Elemente).
