Ist (F(X), ◦) eine Gruppe?

Question

Sei \(X\) eine Menge. Dann ist die Menge \(F(X)\) der Funktionen \(X \to X\) ein Monoid bzgl. der Komposition \(\circ\). Das neutrale Element ist \(id_X\).

Ist \((F(X),\circ)\) nun eine Gruppe? Uns wurde es zweimal erklärt. Beim einen mal kam raus, dass es eine Gruppe ist, beim anderen mal, dass es keine Gruppe ist. Hat \((F(X),\circ)\) ein Inverses? Wenn ja welches?

Danke

Answer 1

Hallo. Monoid bedeutet zunächst, dass du Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements (idx) vorzuliegen hast. Wann ist eine Abbildung umkehrbar, bzw. wann hat diese überhaupt ein Inverses?

Comments

Ich bin mir dessen wirklich nicht im Klaren

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\(F\) muss bijektiv sein. Aber \(F\) ist hier nur eine beliebige Abbildung, d.h., sie muss nichteinmal bijektiv sein. Du kannst dir nun eine konkrete nicht bijektive Abbildung mit einer Menge \(X\) hinschreiben. Damit hast du gezeigt, dass \((F(X),\circ )\) keine Gruppe ist.

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Nach meinem Verständnis wäre es dann ein Monoid richtig?

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Ja, genau._________