Sei ◦ : Z × Z → Z definiert durch a ◦ b = a + b − 1. Gruppe zeigen.

Question

Sei ◦ : Z × Z → Z definiert durch a ◦ b = a + b − 1.

1. Zeigen Sie, dass (Z, ◦) eine Gruppe ist und geben Sie das neutrale Element an. 

Hilfe!

Answer 1

Fuer das neutrale Element (nennen wird es n) muss a ◦ n = a gelten. Schreibe das gemaess der Definition von  ◦ aus und loese die Gleichung nach n auf. Nachdem Du das hast, muss für das inverse von a (nennen wir es -a) a ◦ (-a) = n gelten. Schreibe das gemaess der Definition von  ◦ aus und loese die Gleichung nach -a auf. Zur Gruppe fehlt Dir dann noch die Assoziativitaet von ◦. Schreibe (a  ◦ b)  ◦ c = a  ◦ (b  ◦ c) gemaess der Definition von  ◦ aus und rechne nach, dass es stimmt.

Comments

Danke :-) Jetzt hätte ich noch eine Frage:

Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z, +) an.

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Geuscht ist ein bijektive Abbildung f: ℤ → ℤ mit f(a ◦ b) = f(a) + f(b). Da musst Du halt mal ein bisschen spielen. Tipp: Es ist was ganz einfaches und es muss f(n) = 0 gelten.

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Stehe irgendwie auf dem Schlauch :-(

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Habe die selbe Aufgabe, bin soweit mit gekommen, nur ist jetzt meine Frage:

aus  f(a ◦ b) wird ja laut Definition f(a+b-1), aber was wird dann aus f(a) + f(b)?

Wird daraus:  f(a) + f(b-1) ?

Und reicht es dann, falls es stimmt zu schreiben:

f(a+b-1) = f(a)+f(b-1)

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Achja und mein neutrales Element bei (Z,o) wäre 1 und bei (Z,+) wäre es 0.
Zeige ich dann sowas wie: (a+b-1)^1 = 0 ? oder wie mache ich das?

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Und dann noch die Frage mit dem inversen.
Würde ich dann das hier schreiben:
phi(2-a)=[(2-a)+b-1]^{-1}
wenn ich mich nicht irre ist es doch falsch was ich hinter dem = Zeichen habe oder? Wenn ja wie oder für was setze ich dann das Inverse bei der Definition ein? 
MfG

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Meine Idee beim Beweis mit phi und inversem Element das zu schreiben:

φ(2-a) = a+2-a-1 = 1

[φ(a)]^-1 = [a+b-1]^-1= a+2-a-1=1

Kann ich es so machen?