Welche der folgenden Behauptungen für Gruppen sind richtig? (a) a ◦ a = a ◦ b ⇒ a = b

Question

Welche der folgenden Behauptungen sind in jeder Gruppe (G,◦) mit neutralem Element e richtig? Beweisen Sie die Aussagen oder geben Sie Gegenbeispiele an.

Für alle a,b ∈ G gilt:

(a) a ◦ a = a ◦ b ⇒ a = b

(b) a ◦ a = b ◦ b ⇒ a = b

(c) a^5 = a ⇒ a^4 = e

(d) a^5 = e und a^4 = e ⇒ a = e.

[Anmerkung: Fehlerhafte Typografie berichtigt.]

Comments

also irgendwie liegt mir lina nicht so 
wäre erfreut über ein paar tipps/hinweise/lösungswege

danke :)

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kann das jemand denn ich verstehe das nicht wirklich

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Bei (b) kannst du ein Gegenbeispiel konstruieren.

Vorschlag:

Verknüpfung: Addition modulo 4.

modulo 4 gilt:

1+1 = 2 und 3+3=2,

aber 1 ≠ 3.

==> b ist erledigt.

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ja b hatte ich auch schon so gemacht mit meinem kollegen aber d weiß ich nicht weiter

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(d) a^5 = e und a^4 = e ⇒ a = e. 

Vielleicht so: 

a^4 = e   | * a

a^4 * a = e*a = a 

Aber auch 

a^4 * a = a^5 = e 

Gleichungskette zusammensetzen ergibt a = e . 

Answer 1

Ich gebe dir mal eine Tipp zu einigen der Aussagen: Nutze aus, dass jedes Gruppenelement invertierbar sein muss, es also zu jedem \(a\in G\) auch ein \(a^{-1} \in G\) mit \(a^{-1} \circ a = e\) gibt.

Comments

also ich habe bei a,c,d ein anderes ergebnis als mein kollege nun weiß ich nicht ob ich oder er falscht liegt

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also das was bei mir raus kam ist falsch kann mir jemand erklären wie das richtig gemacht wird?

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Vorschlag zu (a):

$$ \begin{aligned} a \circ a &= a \circ b \\a^{-1}\circ a \circ a &= a^{-1}\circ a \circ b \\e \circ a &= e \circ b \\a &= b \end{aligned} $$

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ach so macht man das ok danke

aber wie macht man denn d?

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Das war nur die grobe Idee zu (a). Möchte man nur die Gruppenaxiome und diese auch nur jeweils einzeln verwenden, muss man es ausführlicher machen.

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Für (d) kannst du die Assoziativität benutzen:
$$ \begin{aligned} a^5 &= e \quad\mid\quad \text{folgt nach Voraussetzung}\\a \circ a^4 &= e \quad\mid\quad \text{folgt mit Assoziativität}\\a \circ e &= e \quad\mid\quad \text{folgt nach Voraussetzung}\\a &= e \quad\mid\quad \text{folgt wg. }e\text{ als Neutralem}\end{aligned} $$