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Sei a_n eine Nullfolge und b_n eine beschränkte Folge. Zeigen sie mithilfe der Definition, dass c_n = a_n * b_n eine Nullfolge ist.

Letztendlich weiss ich nicht wo ich mit der Definition ansetzen soll.

Der einzige Ansatz den ich habe:

l a_n * b_n - 0 l <= l a_n * C l

Sei C die Schranke von b_n.

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es existiert wie bereits erwähnt ein \(C\in\mathbb R\), so dass \(\vert b_n\vert< C\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.
Sei nun \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Es existiert ein \(N\in\mathbb N\), so dass \(\vert a_n\vert<\frac\varepsilon C\) für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n>N\) gilt. Es folgt$$\vert c_n-0\vert=\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\frac\varepsilon C\cdot C=\varepsilon.$$Also ist auch \(\{c_n\}\) eine Nullfolge.

Gruß

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