es existiert wie bereits erwähnt ein \(C\in\mathbb R\), so dass \(\vert b_n\vert< C\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.
Sei nun \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Es existiert ein \(N\in\mathbb N\), so dass \(\vert a_n\vert<\frac\varepsilon C\) für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n>N\) gilt. Es folgt$$\vert c_n-0\vert=\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\frac\varepsilon C\cdot C=\varepsilon.$$Also ist auch \(\{c_n\}\) eine Nullfolge.
Gruß