Folgenkonvergenz: Definition

Question

Sei a_n eine Nullfolge und b_n eine beschränkte Folge. Zeigen sie mithilfe der Definition, dass c_n = a_n * b_n eine Nullfolge ist.

Letztendlich weiss ich nicht wo ich mit der Definition ansetzen soll.

Der einzige Ansatz den ich habe:

l a_n * b_n - 0 l <= l a_n * C l

Sei C die Schranke von b_n.

Answer 1

es existiert wie bereits erwähnt ein $C\in\mathbb R$, so dass $\vert b_n\vert< C$ für alle $n\in\mathbb N$ gilt.
Sei nun $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Es existiert ein $N\in\mathbb N$, so dass $\vert a_n\vert<\frac\varepsilon C$ für alle $n\in\mathbb N$ mit $n>N$ gilt. Es folgt$$\vert c_n-0\vert=\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\frac\varepsilon C\cdot C=\varepsilon.$$Also ist auch $\{c_n\}$ eine Nullfolge.

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort.