Ist in einer Gruppe (g^-1)^-1=g?

Question

zeigen sie, dass (g^-1)^-1 = g.

Mein Beweis wäre:

(g^-1)^-1 * (g^-1) = e

g * (g^-1) = e

daraus folgt die Gleichung oben.

Kann man das so beweisen oder habe ich etwas nicht beachtet?

LG und vielen Dank :)

Answer 1

Kann man das so beweisen

Ja.

daraus folgt die Gleichung oben.

Wieso?

Comments

Wieso?

Grund warum ich frage ist folgender.

Es ist

\( \begin{pmatrix} -3&-2\\ 3&2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4&6\\ 6&-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \)

und

\( \begin{pmatrix} 3&2\\ 6&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4&6\\ 6&-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \)

obwohl offensichtlich

\( \begin{pmatrix} -3&-2\\ 3&2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 3&2\\ 6&4 \end{pmatrix} \).

ist.

Im Allgemeinen ist es also nicht möglich, aus

        a₁ · b = c        und        a₂ · b = c

zu folgern, dass a₁ = a₂ ist. Deshalb solltest du begründen, warum diese Schlussfolgerung in deinem Fall gütig ist.

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Hey - vom Rechnen mit Matrizen habe ich (noch) keine Ahnung, weswegen ich nicht weiß, worauf du hinaus willst.

Ich mutmaße mal:

Die Gleichung gilt, weil das inverse und neutrale element eindeutig bestimmt sind?

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vom Rechnen mit Matrizen habe ich (noch) keine Ahnung

Hmm ..., normalerweise gehört das zum Abiturstoff. Da werden stochastische Prozesse mit Matrizen (und Übergangsdiagrammen) beschrieben.

Ich mutmaße mal:
Die Gleichung gilt, weil das inverse ... eindeutig bestimmt sind?

Deine Mutmaßung ist richtig. Die Aufgabe lautet aber "zeigen sie" und nicht "mutmaßen sie" :-)

Allgemeiner kann man zeigen:

        In einer Gruppe hat die Gleichung

                x*a = b

        eine eindeutige Lösung für x.

Ist nämlich

        x*a = b,

dann ist auch

        (x*a)*a^-1 = b*a^-1

und somit

        x*(a*a^-1) = b*a^-1.

wegen Assoziativgesetz. Weil a und a^-1 invers zueinander sind, ist dann

        x = b*a^-1.

Das b*a^-1 tatsächlich eine Lösung ist, kann man durch Einsetzen zeigen.