Untergruppenbeweis 2. Kriterium

Question

Aufgabe:

Es sei G eine abelsche Gruppe mit neutralem Element n und Verknüpfung ∗. Weiter sei für g ∈ G und k ∈ ℕ/{0} die Notation g^k := g∗g∗···∗g (k-mal) vereinbart. Zeigen Sie,dass

U := {g ∈ G : es existiert ein k ∈ ℕ/{0} mit g^k = n} eine Untergruppe von G ist.

Problem/Ansatz:

(UG1) U ≠ ∅.

zu zeigen: n ∈ U. Sei g = n, dann gilt n^k = n, für alle k ∈ ℕ/{0}. Somit n ∈ U.

(UG2) für alle a, b ∈ U ist auch a * b^-1 ∈ U.

zu zeigen: g * h ∈ U und g * g^-1 gilt.

(1) g * h ∈ U

???

(2) a * b^-1 ∈ U

???

Da also (1) und (2) gelten, ist auch (UG2) erfüllt. Somit ist U eine Untergruppe von G.

Answer 1

Bei (UG2) ist zu zeigen: Für alle g, h ∈ U gilt auch (1) g * h ∈ U und (2) g^-1 ∈ U. Bedenke, dass es in der Definition heißt: "es existiert ein k ..." Dieses k muss natürlich nicht für jedes Element der Untergruppe gleich sein. Wenn g und h in U liegen, gibt es solche Zahlen k und l, so dass g^k = n und h^l = n, dann ist k*l passend für g*h, denn (g*h)^k*l = (g^k)^l * (h^l)^k. Hier ist natürlich wichtig, dass die Gruppe abelsch ist. Wegen (g^-1)^k=(g^k)^-1 (bitte kurz drüber nachdenken) liegt auch g^-1 in U. Das war es schon. Die Aussage ist übrigens nur für Gruppen mit unendlich vielen Elementen interessant, dann ist U die Untergruppe aller Elemente mit endlicher Ordnung. Für endliche Gruppen ist U = G.