Funktionsuntersuchung der Funktion f(x)=1/6 (x + 1)^2 (x - 2) mit x ∈ ℝ

Question

Funktion:

f(x)= \( \frac{1}{6} \)(x + 1)^2 (x - 2)   mit x ∈ ℝ

a) Beschreiben Sie den globalen Verlauf der Funktion f für x →∞ und für x → – ∞.

b) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Art der Nullstellen, d. h. ob mit oder ohne Vorzeichenwechsel (VZW).

c) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von f.

d) Bestimmen Sie die Punkte, an denen die Funktion f waagerechte Tangenten hat.

e) An welchem Punkt B gibt es eine Tangente, die parallel zur Gerade g mit der Funktionsgleichung g(x) = – 0,5 x ist?
Bestimmen Sie sowohl den Berührungspunkt B dieser Tangente als auch die Tangenten- und Normalengleichung in diesem Punkt.

Meine Lösung:

a) Ich glaube hier muss ich auf die Nullstellen gucken und dann den globalen Verlauf beschreiben? Ich hoffe es ist richtig.

b) N1 (0 | 0) Kein VZW

    N2 (-1 | 0) VZW

    N3 (1 | 0) VZW

    N4 (2 | 0) VZW

c) f(x) = \( \frac{1}{6} \) + x² - 1 x - 2

   f‘(x) = 2x - 1

   f''(x) = 1

(Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist, habe es versucht.)

d) Wie schreibe ich das auf? An der Stelle  x/y (Zahl) befindet sich eine Tangente?

e) Hier bin ich mir nicht sicher was ich genau machen soll...

Würde mich über positive Kommentare freuen. :)

Comments

Tipp: Zeichne den Graphen zuerst. Dann bekommst du schon eine ungefähre Vorstellung.

Answer 1

a) Beschreiben Sie den globalen Verlauf der Funktion f für x → -∞ und für x → ∞.

Die Funktion verhält sich wie y = 1/6·x^3
lim (x → -∞) f(x) = -∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

b) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Art der Nullstellen, d.h. ob mit oder ohne Vorzeichenwechsel (VZW).

f(x) = 1/6·(x + 1)^2·(x - 2) = 0
(x + 1)^2 = 0 → x = -1 (2-fach d.h. ohne VZW)
x - 2 = 0 → x = 2 (mit VZW)

c) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von f.

f(x) = 1/6·(x^2 + 2·x + 1)·(x - 2) = 1/6·(x^3 - 3·x - 2)
f'(x) = 1/6·(3·x^2 - 3) = 1/2·(x^2 - 1)
f'(x) = 1/2·(2·x) = x

d) Bestimmen Sie die Punkte, an denen die Funktion f waagerechte Tangenten hat.

f'(x) = 1/2·(x^2 - 1) = 0
x^2 - 1 = 0 -->x = -1 ∨ x = 1
f(-1) = 0 → P1(-1 | 0)
f(1) = -2/3 → P2(1 | 0.6667)

e) An welchem Punkt B gibt es eine Tangente, die parallel zur Gerade g mit der Funktionsgleichung g(x) = -0.5x ist? Bestimmen Sie sowohl den Berührungspunkt B dieser Tangente als auch die Tangenten- und Normalengleichung in diesem Punkt.

f'(x) = 1/2·(x^2 - 1) = -0.5 → x = 0
B(0 | f(0) = -1/3)
t(x) = 1/6·(-3·x - 2) = -1/2·x - 1/3
n(x) = 2·x - 1/3

Answer 2

Hallo,

Ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist, ->leider nein

c) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von f.

Zuerst Ausmultiplizieren

y=(1/6)( x^2+2x +1)( x-1)

y=(1/6)(x^3 -2x^2 +2x^2 -4x +x -1)

y=(1/6)(x^3 -3x -2) =x^3/6 -x/2 -1/3

y '= (1/2)  x^2 -1/2

y'' = x

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