Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen, ob diese injektiv und/oder surjektiv sind:

Question

Aufgabe:

Begründen Sie für jede der folgenden Abbildungen, ob diese injektiv und/oder surjektiv sind:
\( \begin{array}{ll} f_{1}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n+1 \\ f_{2}: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{N}_{0}, & n \mapsto\left\{\begin{array}{ll} n-1, & \text { falls } n \geq 1 \\ 0, & \text { falls } n=0 \end{array}\right. \\ f_{3}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, & n \mapsto n-3 \\ f_{4}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, & n \rightarrow 2 n \end{array} \)
Welche dieser Funktionen sind sogar bijektiv? Gegeben Sie in diesen Fällen die Umkehrfunktion an.

Answer 1

f1 injektiv; denn aus f1(a)=f1(b) folgt a+1 = b+1 also a=b

nicht surjektiv, da f1(a)=1 für kein a ∈ℕ erfüllt ist

f2 nicht injektiv da f2(0)=f2(1) , aber surjektiv

f3 bijektiv Umkehrfunktion n→n+3

f4 injektiv aber nicht surjektiv, da z.B. kein n mit f4(n)=1 vorhanden