Finden Sie alle Lösungen der Gleichung z3 + 27 = 0 in C.

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung \( z^{3} \) + 27 = 0 in C.

bitte eine kurze Erklärung :)

Answer 1

Hallo,

z^3=-27 hat drei Lösungen.

In Polarform:

\((r\cdot e^{i\varphi})^3=27 \cdot e^{i\pi}\)

\(r^3\cdot e^{i\cdot3\varphi}=27 \cdot e^{i\pi}\)

\(r^3=27\Rightarrow r=3\)

\(3\varphi_n=\pi +n\cdot 2\pi~~~;~~~n\in\Z\)

Also:

\(\varphi_0=\pi/3\)

\(\varphi_1=(2\pi+\pi)/3=\pi\)

\(\varphi_2=(4\pi+\pi)/3=5\pi/3\)

:-)

PS:

\(\varphi_4=\varphi_0\) usw.