Aloha :)
Ok, nachdem nun klar ist, dass die Summe wirklich so ausieht, hier die ausführliche Rechnung.
Wir betrachten die Summe:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\frac{(k+1)!}{k!}$$Zunächst vereinfachen wir sie:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k!\cdot(k+1)}{k!}=\sum\limits_{k=1}^n(k+1)=\sum\limits_{k=1}^nk+\sum\limits_{k=1}^n1$$
In der ersten Summe werden die ersten \(k\) natürlichen Zahlen addiert. Dafür gibt es die berühmte Summenformel von Gauß:$$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}{2}$$In der zweiten Summe wird \(n\)-mal die Zahl \(1\) addiert, sodass diese Summe insgesamt den Wert \(n\) liefert.
Zusammengefasst heißt das:$$S_n=\frac{n^2+n}{2}+n=\frac{n^2+n}{2}+\frac{2n}{2}=\frac{n^2+3n}{2}$$
Für den Grenzwert der Summe bedeutet dies:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(k+1)!}{k!}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{(k+1)!}{k!}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+3n}{2}\right)=\infty$$
