Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz

Question

Aufgabe: Man soll die Konvergenz und die absolute Konvergenz berechnen.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(3n)!(2n)!}{n!(4n)!}} \)

Problem/Ansatz: Ich habe leider gar keinen Ansatz, egal wie lange ich überlege.

Answer 1

es gibt Konvergenzkriterien.

Hier bietet sich das Quotientenkriterium an.

Suche es in deinen Unterlegen auf, und dann wende es an.

Ein Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz besteht im konkreten Fall  übrigens nicht, weil alle Summanden positiv sind.

Comments

Ich habe das jetzt probiert anzuwenden und komme aber an einem Punkt nicht weiter.

Ich habe es vereinfacht bis :

\( \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \) * \( \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \) * \( \frac{(4n)!}{(4n+4)!} \) * \( \frac{1}{(n+1)} \)

Wie kann ich jetzt weiter vorgehen ? Oder was kann ich jetzt als nächstes machen ?

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(3n+3)! = 1*2*3*...*(3n)*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3),

während (3n)! nur  1*2*3*...*(3n) ist.

Der erste Term steht bei dir im Zähler, der zweite im Nenner. Siehst du Potenzial zum Kürzen?

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Ok. Ich habe jetzt alle Brüche soweit gekürzt/aufgelöst wie möglich. Ich wäre da glaube ich selber nicht drauf gekommen. Aber jetzt stehe ich vor dem nächsten Problem. Ich habe hier einen ziemlich langen Term stehen und weiß nicht was jetzt. Bei dem Quotientenkriterium muss man ja zeigen ob es < 1 ist , dann konvergiert die Reihe ja, oder ob es => 1 dann divergiert die Reihe. Ich weiß echt nicht ob ich einfach nur auf dem Schlauch stehe bei dieser Aufgabe...