So gibt man eine Quelle an:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Austauschlemma_und_Austauschsatz_von_Steinitz
Du kommst also nicht mit dem Summationszeichen klar oder?
Im Beweis zum Austauschlemma (vermute ich jetzt mal) steht
$$ w = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i $$
Das wird "umgeformt" zu
$$ w = \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i + \lambda_k b_k = \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) + \lambda_k b_k$$
1. Der Summand hinter dem Summenzeichen gehört nicht mehr zum Summenzeichen, deshalb habe ich die Klammern ergänzt um das optisch besser abzutrennen.
2. Was bedeutet \( \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \)?
Du bildest eine Summe aus den Summanden \( \lambda_i b_i \) mit \( i = 1,...,n \), also:
$$ \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = \lambda_1 b_1 + \dotsm + \lambda_{k-1} b_{k-1} + \lambda_{k} b_{k} + \lambda_{k+1} b_{k+1} + \dotsm + \lambda_{n} b_{n} $$
3. Was bedeutet \( \displaystyle \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \)?
Du bildest eine Summe aus den Summanden \( \lambda_i b_i \) mit \( i = 1,...,k-1,k+1,...,n \). den Summanden für \( i=k \) lässt du also weg! Da kommt dann das raus:
$$ \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i = \lambda_1 b_1 + \dotsm + \lambda_{k-1} b_{k-1} + \lambda_{k+1} b_{k+1} + \dotsm + \lambda_{n} b_{n} $$
Jetzt fehlt aber im Vergleich zu obiger Summe der Summand \( \lambda_k b_k \), deshalb schreibt man den anschließend einfach separat hinter die Summe - man kann ihn ja immerhin nicht einfach weglassen:
$$ \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = w = \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) + \lambda_k b_k $$
Jetzt nennen wir mal \( \displaystyle X = \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \). Dann sieht das so aus:
$$ w = \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) + \lambda_k b_k \\ \iff w - X = X - X + \lambda_k b_k = \lambda_k b_k $$
Du ziehst auf beiden Seiten einfach das X (also die Summe) ab. Da \( \lambda_k \neq 0 \) kannst du es im Körper invertieren, multipliziere also mit \( \lambda_k^{-1} \) bzw. mit \( \frac{1}{\lambda_k} \)
$$ \iff \frac{1}{\lambda_k}(w - X) = \frac{1}{\lambda_k} \lambda_k b_k = b_k $$
Distributibgesetz:
$$ \iff \frac{1}{\lambda_k}w - \frac{1}{\lambda_k}X = b_k $$
Jetzt setze ich mal wieder die Summe ein:
$$ \iff \frac{1}{\lambda_k}w - \frac{1}{\lambda_k} \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \lambda_i b_i \right) = b_k $$
nochmal Distributivgesetz:
$$ \iff \frac{1}{\lambda_k}w - \left( \sum_{\substack{i=1\\i \neq k}}^n \frac{\lambda_i}{\lambda_k}b_i \right) = b_k $$
