zeigen Sie dass ,maxx ||Ax||2 / ||x||2 = ϑ1

Question

Aufgabe:

Beweisen sie dass die Spectral Norm einer Matrix der größte singuläre Wert ist?

Problem/Ansatz:

zeigen Sie dass ,max_x ||Ax||₂ / ||x||₂ = ϑ1

Mein Ansatz

(||U∑Vx||₂ / ||x|₂|) = ||∑ϑ_iu_iv_i^t * x||₂ / ||x||₂ = ⟨∑x_j , ∑ϑ_iu_iv_i^t⟩^1/2   /  (∑x_jx_j)^1/2   

^{Danach weiß ich nicht weiter, am besten mit jedem Zwischenschritt}

^mfg

Answer 1

Erstmal ist klar, dass

\( \max \frac{\|\mathbf{A} \mathbf{x}\|_{2}}{\|\mathbf{x}\|_{2}}=\max\limits _{\|\mathbf{x}\|_{2}=1}\|\mathbf{A} \mathbf{x}\|_{2} \)
(Klar machen, warum das der Fall ist).
\( \max \limits_{\|\mathbf{x}\|_{2}=1}\left\|\mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^{\top} \mathbf{x}\right\|_{2}=\max\limits _{\|\mathbf{x}\|_{2}=1}\left\|\Sigma \mathbf{V}^{\top} \mathbf{x}\right\|_{2}=\max\limits _{\|\mathbf{y}\|_{2}=1}\|\Sigma \mathbf{y}\|_{2} \)
Hier haben wir die Substitution \( \mathbf{y}=\mathbf{V}^{\top} \mathbf{x} \) und nutzen die Orthogonalität von \( \mathbf{V} \) aus, wodurch
\( \|\mathbf{y}\|_{2}=\|\mathbf{x}\|_{2} \)
gilt. Jetzt sollte klar sein, dass
\( \max \limits_{\|\mathbf{y}\|_{2}=1}\|\Sigma \mathbf{y}\|_{2}=\max\limits _{\|\mathbf{y}\|_{2}=1} \sqrt{\sum \limits_{k=1}^{n} (\sigma_{k} y_{k})^2} \)
maximal ist, wenn wir die grösstmögliche Komponente dem grössten Singulärwert zuweisen. Da die grösstmögliche Komponente aufgrund der Normbeschränkung eins ist, folgt das, was du zeigen sollst.

Comments

wie ist das mit dem beweis von dem typen der die frage gestellt ?

https://math.stackexchange.com/questions/3855989/proof-of-two-equivalent-definitions-of-the-spectral-norm

ist seins korrekt ?

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Du siehst doch den Beweis in meiner Antwort?

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ja aber ich fand den etwas schwierig zu verstehen , einmal die erste Zeile habe ich die Umforrmung nicht ganz verstanden und wohin das U verschwand.

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Das U verschwindet, weil es eine orthogonale Matrix ist, und orthogonale Matrizen stellen ja Rotationen dar, also wird die Länge des Vektors nicht verändert (das ist die intuitive Erklärung)

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Es ist
\( \begin{array}{c} \mathbf{x}=\|\mathbf{x}\|_{2} \frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_{2}} \Longrightarrow\left\|\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_{2}}\right\|_{2}=1 \\[20pt] \max \frac{\|\mathbf{A} \mathbf{x}\|_{2}}{\|\mathbf{x}\|_{2}}=\max \frac{\left\| \mathbf{A} \frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_2}\cdot \|\mathbf{x}\|_2 \right\|}{\|\mathbf{x}\|_2}=\max \left\|\mathbf{A} \frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_{2}}\right\|_{2}=\max \limits_{\|\mathbf{y}\|_{2}=1}\|\mathbf{A} \mathbf{y}\|_{2} \end{array} \)
\( \operatorname{mit} \mathbf{y}=\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_{2}} \)

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okay danach die Schritte mit dem U was da passsiert ?

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Ja das U get weg weil es eine orthogonale matrix ist und somit die Euklidische Norm eines Vektors nicht veränder.

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ahhh aber das gilt auch dann für V, okay die regeln kannte ich nicht.

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Die Regel ist sehr wichtig, hier ein Kurzer Beweis:

\( \|\mathbf{V} \mathbf{x}\|_{2}^{2}=(\mathbf{V} \mathbf{x})^{\top} \mathbf{V} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\top} \mathbf{V}^{\top} \mathbf{V} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\top} \mathbf{x}=\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} \)

da

\(\mathbf{V}^{\top} \mathbf{V}=\textbf{I}\)

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Alles verstanden bis auf die Implikation mit dem und was mit dem am Nenner am Anfang passiert genau passier

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Also du weisst ja sicher, dass

\( \|\alpha \mathbf{x}\|_{2}=|\alpha|\|\mathbf{x}\|_{2} \)

für irgendeine reelle Zahl \(\alpha\) gilt. Das habe ich genutzt um die Norm von x aus der Norm zu ziehen, da ja die Norm eines Vektors eine nichnegative reelle Zahl ist.

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Du hast also ||x||₂  

Vom Zähler ausgeklammert und anschließend gekürzt mit dem Nenner und das hast du getan weil ||x||₂ ein skalar ist?

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Genau, ich habe natürlich angenommen, dass x nicht der Nullvektor ist.

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Okay meine letzte Frage wäre dienletzte Zeile wie du auf die summendormel gekommen bist.

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Ja du hast Recht, da fehlte ein ^2

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Fehlt da auch kein summenzeichen oder lässt man es weg weil die beides dieselben sind ? Ich kenne nur die Regeln wenn sie unterschiedlich sind aber wenn sie gleich sind weiß ich nicht