die Elemente von ℤ/mℤ sind ja Restklassen (bzw. Äquivalenzklassen, insb also Mengen!) der Form
x+mℤ = { x + m*z | z ∈ ℤ } = { ..., x-2m, x-1m, x+0m, x+1m, x+2m, x+3m, ...}
Manche schreiben \( x + m\mathbb Z = [x]_m = [x] = \bar x \), wobei die letzten beiden Schreibweisen natürlich nur angewendet werden können wenn keine Verwechselungsgefahr bzgl des m besteht.
Die Definition auf ℤ/mZ definiert man für gewöhnlich wie folgt:
\( [a]_m \cdot [b]_m := [a\cdot b]_m \)
Jetzt ist aber z.B. \( [a]_m = [a+42m]_m \). Gilt dann auch
\( [a]_m \cdot [b]_m = [a\cdot b]_m \stackrel{?}{=} [(a+42m) \cdot b]_m = [a+42m]_m \cdot [b]_m \)
? Bei der Definition
\( [a]_m \cdot [b]_m := [a\cdot b]_m \)
Setzt man das Produkt der beiden Restklassen auf die Restklasse des Produkts zweier Vertreter. Die Frage ist jetzt: Ist es egal welche Vertreter der beiden Restklassen man hierbei wählt?
Dazu betrachten wir zwei Restklassen \( [a]_m, [b]_m \). Wir wählen zwei beliebige Vertreter \( \tilde a \in [a]_m \) und \( \tilde b \in [b]_m \) aus. Dann gilt
$$ [\tilde a]_m = [a]_m \quad [\tilde b]_m = [b]_m $$
Zu zeigen ist jetzt, dass dann auch
$$ [a]_m \cdot [b]_m = [a\cdot b]_m \stackrel{?}{=} [\tilde a \cdot \tilde b]_m = [\tilde a]_m \cdot [\tilde b]_m$$
Um \( [a\cdot b]_m = [\tilde a \cdot \tilde b]_m \) nachzuweisen genügt es z.B. \( \tilde a \cdot \tilde b \in [a\cdot b]_m \) zu zeigen. Das bedeutet aber wiederum man muss eine ganze Zahl k finden, s.d. \( \tilde a \cdot \tilde b = a\cdot b + m \cdot k \) ist. Das ist nicht so schwer, wenn du verstanden hast was \( \tilde a \in [a]_m \) und \( \tilde b \in [b]_m \) bedeutet. Versuchs mal
