Lösung für Anfangswertproblem

Question

Aufgabe:

Man betrachtet

y' = (1/2y) × (10-y)

y(0)= 1

Beweisen Sie, dass...

y(t)= (10 × e^5t) : (e^5t +9); t∈R

Answer 1

Aloha :)

Wir setzen die angegebene Lösung in die Differentialgleichung ein und prüfen, ob wir am Ende etwas Wahres heraus kriegen:$$y(t)=\frac{10e^{5t}}{e^{5t}+9}\quad(t\in\mathbb R)$$Offensichtlich ist die Startbedingung \(y(0)=\frac{10}{1+9}=1\) erfüllt. Wir leiten ab:$$y'(t)=\frac{50e^{5t}(e^{5t}+9)-10e^{5t}5e^{5t}}{(e^{5t}+9)^2}=\frac{50e^{5t}}{e^{5t}+9}-50\left(\frac{e^{5t}}{e^{5t}+9}\right)^2$$$$\phantom{y'(t)}=\frac12\left(\frac{100e^{5t}}{e^{5t}+9}-\left(\frac{10e^{5t}}{e^{5t}+9}\right)^2\right)=\frac12\left(10\cdot\frac{10e^{5t}}{e^{5t}+9}-\left(\frac{10e^{5t}}{e^{5t}+9}\right)^2\right)$$$$\phantom{y'(t)}=\frac12\left(10y(t)-y^2(t)\right)=\frac12y(t)\cdot\left(10-y(t)\right)\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo,

Leite

\( y(t)=\frac{10 e^{5 t}}{e^{5 t}+9} \)

einmal ab und setzte y' in die DGL ,ebenso y.

Wenn gilt :linke Seite der Gleichung = der rechten Seite der Gleichung, ist der Beweis erbracht.