Konvergenz und absolute Konvergenz der Reihe untersuchen

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} h_{k} \), wobei \( h_{k}=\left\{\begin{array}{ll}(2 / 5)^{k} & \text { wenn } k \text { gerade, } \\ (3 / 5)^{k} & \text { wenn } k \text { ungerade. }\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

Answer 1

1) Leibniz Kriterium => Zeige, dass die innere Folge eine monoton fallende Nullfolge ist.

2) Hier ist klar, dass sie konvergiert, wegen des Majorantenkriteriums
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} h_{k} \leq \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{k} \)

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{\infty} h_{k} &=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\left(\frac{2}{5}\right)^{2 k}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2 k-1}\right)=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{2 k}+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{2 k-1} \\ &=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{4}{25}\right)^{k}+\frac{5}{3} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{9}{25}\right)^{k}=\frac{25}{21}-1+\frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 16}-\frac{5}{3} \approx 2.1279 \end{aligned} \)

Analog ergibt sich

\(\begin{aligned}\sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} h_{k}=\frac{25}{21}-1-\left(\frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 16}-\frac{5}{3} \right)\approx-0,7470\end{aligned}\)

Wichtige Bemerkung: Man darf die Summe nur aufspalten, da wir schon wissen, dass sie konvergiert!