Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es nach Beendigung dieses Medikationsprogramms zur Heilung gekommen sein?

Question

Eine Medikation, die mit Wahrscheinlichkeit p zur Heilung führt, wird so lange wiederholt, bis sie erfolg- reich war, insgesamt wird sie jedoch höchstens drei Mal angewandt.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es nach Beendigung dieses Medikationsprogramms zur Heilung gekommen sein?
(ii) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Anzahl X der vorgenommenen Medikationen.
(iii) Angenommen die erste Medikation brächte drei Euro Gewinn, bei der zweiten gäbe es zwei weitere Euro Gewinn, und bei der dritten entstehen zwei Euro Kosten. Bei welchem Wert von p ist der zu erwartende Gewinn maximal?

MfG

Comments

Hast du bei den ähnlichen Fragen schon Ansätze für deine Antwort gefunden? Bsp: https://www.mathelounge.de/36659/welcher-wahrscheinlichkeit-gesamten-behandlung-heilung

Answer 1

Eine Medikation, die mit Wahrscheinlichkeit p zur Heilung führt, wird so lange wiederholt, bis sie erfolg- reich war, insgesamt wird sie jedoch höchstens drei Mal angewandt.

(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es nach Beendigung dieses Medikationsprogramms zur Heilung gekommen sein?

1 - (1 - p)^3 = p^3 - 3·p^2 + 3·p

(ii) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Anzahl X der vorgenommenen Medikationen.

1 * 1 + 2 * (1 - p) + 3 * (1 - p)^2 = 3·p^2 - 8·p + 6

(iii) Angenommen die erste Medikation brächte drei Euro Gewinn, bei der zweiten gäbe es zwei weitere Euro Gewinn, und bei der dritten entstehen zwei Euro Kosten. Bei welchem Wert von p ist der zu erwartende Gewinn maximal?

G = 3 * 1 + 2 * (1 - p) - 2 * (1 - p^2) = 2·p^2 - 2·p + 3
G' = 4·p - 2 = 0
p = 0.5 = 50%

Comments

Vielen viel Dank!


1 * 1 + 2 * (1 - p) + 3 * (1 - p)2 = 3·p2 - 8·p + 6 ich komme beim der rechten seite auf 3p2 -2p +6 und nicht auf 8p

---

Hast du die binomische Formel richtig ausmultipliziert ?

---

Vielleicht mache ich einen Fehler ich komme auf:

1+2-2p+3-3p² da ich doch 2*(1-p) habe das ergibt ja dann -2p

MfG Kallino

---

1 * 1 + 2 * (1 - p) + 3 * (1 - p)^2

= 1 + (2 - 2p) + 3 * (1 - 2p + p^2)

= 1 + (2 - 2p) + (3 - 6p + 3p^2)

= 1 + 2 - 2p + 3 - 6p + 3p^2

= 3p^2 - 8p + 6

---

Mathecoach,

ich hätte ein paar Fragen zu deinen Lösungen von b) und c)

b) Bei dir liegt der Erwartungswert E(X) der Anzahl der erwarteten Medikationen zwischen 1 und 6.

Sollte er nicht zwischen 1 und 3 liegen, wenn maximal 3 Medikationen vorgenommen werden.

c) Du hast ein Minimum gefunden bei p=0 oder p=1 ist der erwartete Gewinn 3 maximal. Das klingt für mich nicht logisch.

---

Bei b hast du recht. Die Lösung ist falsch. fällt dir auf was am Ansatz verkehrt ist?

1 * 1 + 2 * (1 - p) + 3 * (1 - p)²

Was hällst du davon, wenn man die 2 und die 3 durch eine 1 ersetzt?

 

Bei c) vermute ich das Maximum bei p = 0.5 und nicht bei 0 oder 1.

---

Ich würde b) so berechnen

$$E(X)=1*P(X=1)+2*P(X=2)+3*P(X=3)=1\cdot p+2 (1-p) p +3  p(1-p)^2+3(1-p)^3$$

und c)

$$3 p+5 (1-p) p +3  p(1-p)^2+3(1-p)^3$$

Maximum bei p=1/2