Zeigen Sie: Körper, obere Dreiecksmatrizen

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper, n ∈ N und

Tn(K) := {A ∈ Kn×n | aij = 0 für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i > j}
die Menge der oberen Dreiecksmatrizen. Zeigen Sie:

a) Tn(K) ist ein Ring mit Eins bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von
Matrizen.
b) Für alle k ∈ {1, . . . , n} ist ϕk : Tn(K) → K, (aij) 7→ akk ein Ringhomomorphismus.

Answer 1

Im folgenden verwende ich die Notation
\( [\text { Bedingung } B]=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { wenn Bedingung } B \text { erfüllt ist } \\ 0, \text { sonst } \end{array}\right. \)
a) Seien \( \mathbf{A}, \mathbf{B} \in T_{n}(\mathbb{K}) \), dann gilt für ihre Summe und Produkt
\( \begin{array}{l} (\mathbf{A}+\mathbf{B})_{i, j}=a_{i, j}[i \leq j]+b_{i, j}[i \leq j]=\left\{\begin{array}{l} 0+0, i>j \\ a_{i, j}+b_{i, j} \end{array}\right. \\ (\mathbf{A B})_{i, j}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{i, k} b_{k, j}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{i, k}[i \leq k] b_{k, j}[k \leq j]=\left\{\begin{array}{l} \sum \limits_{k=i}^{j} a_{i, k} b_{k, j}, i \leq j \\ 0, i>j \end{array}\right. \end{array} \)
Es ist sicherlich klar, dass die Identitätsmatrix das neutrale Element bezüglich der Multiplikation und die Nullmatrix das Neutralelement bezüglich der Addition ist.

Bei der b) kann ich die Funktion nicht ganz erkennen (was macht da eine sieben?)

Comments

Vielen vielen Dank für die Antwort , sehr hilfreich.

Sorry die b) habe ich falsch geschrieben:

so lautet die b):

b) b) Für alle k ∈ {1, . . . , n} ist ϕk : Tn(K) → K, (aij) → akk ein Ringhomomorphismus