Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N} \). Wir definieren folgende Gruppen:
\( \begin{array}{c} B_{n}:=\left\{\left(a_{i j}\right) \in G L_{n}(K) \mid a_{i j}=0 \forall i>j\right\} \text { obere Dreiecksmatrizen } \\ U_{n}:=\left\{\left(a_{i j}\right) \in B_{n} \mid a_{i i}=1 \forall i\right\} \\ T_{n}:=\left\{\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in G L_{n}(K)\right\} \end{array} \)
Zeigen Sie:
a) Die Abbildung \( \rho: T_{n} \times U_{n} \rightarrow U_{n},(D, U) \mapsto D U D^{-1} \) ist wohldefiniert.
b) Die Menge \( U_{n} \times T_{n} \) ist eine Gruppe durch \( (U, D) \cdot\left(U^{\prime}, D^{\prime}\right)=\left(U \cdot \rho\left(D, U^{\prime}\right), D D^{\prime}\right) \) für \( U, U^{\prime} \in U_{n}, D, D^{\prime} \in T_{n} \)
Diese Gruppe wird als \( U_{n} \rtimes T_{n} \) bezeichnet.
c) Die Abbildung \( U_{n} \rtimes T_{n} \rightarrow B_{n},(N, D) \mapsto N \cdot D \) ist ein Gruppenisomorphismus.
d) \( B_{n} / U_{n} \cong T_{n} \)
