Beweisen Sie, dass eine obere Dreiecksmatrix G mit der Eigenschaft A= G^t*G existiert.

Question

sei A eine positiv definite symmetrische 2x2 - Matrix über R. Beweisen Sie, dass eine obere Dreiecksmatrix G mit der Eigenschaft A= G^t*G existiert.

Comments

Wenn du so wie hier https://www.mathelounge.de/346938/obere-dreiecksmatrix-finden-a-g-t-g  eine findest, bist du fertig mit dem Beweis.

(Natürlich müsstest du das mit Parametern in deiner Matrix machen. Könnte sein, dass es auch einfacher zu zeigen ist.)

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d.h. was genau?

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Die Matrix A hat ja keine Parameter einzige Bedingung ist dass sie eine 2x2 Matrix ist die symmetrisch und positiv definit ist kann ich mir dann einfach eine Matrix A z.B. {{1,2}{2,1}} ausdenken und dann anhand der Matrix beweisen das eine obere Dreiecksmatrix existiert oder muss ich um einen allgemeinen Beweis zu machen Buchstaben statt Zahlen verwenden sprich sowas für A wie  {{x,y},{z,x}}?

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Sei \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) eine positiv definite symmetrische \(2\times2\)-Matrix über \(\mathbb R\). Insbesondere gilt \(a>0\) und \(\det A=ac-b^2>0\).
Sei \(G=\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\). Es soll \(\begin{pmatrix}x&0\\y&z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=A\) gelten. Das führt auf die folgenden drei Gleichungen$$\qquad(1)\quad x^2=a\qquad(2)\quad x\cdot y=b\qquad(3)\quad y^2+z^2=c.$$Wegen \(a>0\) existieren \(x=\sqrt a\) sowie \(y=\frac bx=\frac b{\sqrt a}\). Darüber hinaus existiert wegen \(\det A>0\) auch \(z=\sqrt{c-y^2}=\sqrt{\frac{\det A}a}\). Damit ist die gesuchte Dreiecksmatrix konstruiert.