Ich befasse mich derzeit mit der geometrischen brownschen Bewegung. Die stochastische Differentialgleichung (SDG) die ich verwende lautet wie folgt:
(1) $$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t$$
und ihre Lösung
(2) $$S_t=S_0e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_t}$$
Leider ist mir nicht ganz klar, wie ich von (1) auf (2) komme. Das funktioniert mit Ito's Lemma, soweit ich weiß. Dieses lautet wie folgt:
Sei $$f=f(x,t)$$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion:
(3) $$df(X_t,t)=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dX_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dX_t)^2= (\frac{\partial f}{\partial t}+a_t\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}b_t^2)+\frac{\partial f}{\partial x}b_tdW_t$$
Wenn ich mir mit Hilfe Ito's Lemma folgende Gleichung aufstelle,
(4) $$d\text{log}S_t=\frac{dS_t}{S_t}-\frac{1}{2}\frac{(dS_t)^2}{(S_t)^2}$$
wie komme ich dann durch Einsetzen von (1) auf folgendes
(5) $$d\text{log}S_t=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})dt+\sigma dW_t$$
Hier sind mir sozusagen die algebraischen Umformungen unklar. Diese würde ich mir gerne Schritt für Schritt erklären können.
All dies habe ich aus einer Unterlage zur geometrischen brownschen Bewegung bzw. Ito die unter folgendem Link zu finden ist. Ich beziehe mich auf die Erklärung auf Seite 47. Diese ist mir leider zu wenig ausführlich.
http://www.ems.bbk.ac.uk/for_students/msc_finEng/math_methods/lecture34.pdf
Es wäre eine große Hilfe falls jemand hier weiterhelfen kann.
Vielen Dank
