Vollständiges Operatorensystem ja oder nein

Question

Hallo Leute,

könnt ihr mir mit der folgenden Aufgabe helfen:

Ich soll beweisen, ob das folgende System ⇎ ein vollständiges Operatorensystem ist oder nicht:

Dabei ist ⇎ folgendermaßen definiert:

$x⇎y:=¬(x⇔y)$

Nach Recherche weiß ich, dass das auch dasselbe ist wie:

$¬(x⇔y)=(x⊕y)=(¬x∧y)∨(x∧¬y)$

Wie kann ich beweisen, ob das jetzt vollständig ist oder nicht.

Answer 1

Zeige oder widerlege, dass sich die Operatoren $\neg$, $\wedge$ und $\vee$ durch deinen Operator für beliebige boolesche Variablen ausdrücken lassen.

Dann findest du zwar (für eine beliebige boolesche Variable $a$) die logische Äquivalenz

$\neg a \equiv (\neg a) \vee (a\wedge f) \equiv (\neg a \wedge w) \vee (a\wedge \neg w) \equiv a⇎w$

aber es kann $\wedge$ (damit auch $\vee$) nicht durch den Operator ausgedrückt werden.

Beweisidee: (Das Exklusiv-Oder ist assoziativ.)

Jeder Ausdruck $a⇎b⇎c⇎d⇎...$ für beliebige boolesche Variablen $a,b,c,d,...$ wertet genau dann zu wahr aus, wenn genau eine der Variablen $a,b,c,d,...$ zu wahr auswertet.

Allerdings wertet $\wedge$ nur genau dann zu wahr aus, wenn beide Operanden zu wahr auswerten.