Teilfolgen und Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Behauptungen auf ihren Wahrheitswert. Beweisen Sie oder
geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(a) Eine Folge (a_n)_n∈ℕ reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen a ∈ ℝ wenn jede kon-
vergente Teilfolge (an_k)_k∈ℕ gegen a konvergiert.
(b) Eine Folge (an) neN reeller Zahlen konvergiert genan dann gegen a∈R, wenn jede Teilfolge
(ank)kEN gegen a konvergiert.
(c) Konvergieren die Teilfolgen (a2k)k∈ℕund (a2k-1)k∈ℕ einer reellen Folge (an)n∈ℕ gegen
denselben Wert a ∈ R, so konvergiert auch (an)n∈ℕ gegen a.
(d) Sei (an)neN konvergent gegen a ∈ R. Dann konvergiert die Folge ((-1)ⁿa_n)n∈ℕ genau
dann, wenn a = 0.

Problem/Ansatz:

Für a habe ich bereits eine Lösung, für b hätte ich ein Gegenbeispiel genommen, weiß aber nicht wie. C habe ich mit a=0 gelöst. Bei d habe ich allerdings überhaupt keinen Ansatz.

Vielleicht kann jemand helfen?

Answer 1

Zu d)

Man nehme o.V.d.A. an, \( a_{n} \rightarrow a \) mit \( a>0 \) und \(a_n\ge0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Betrachten wir nun \( \left((-1)^{n} a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{\cdot}} \) Sei \( 2 a>\epsilon>0 \) beliebig, und sei
\( \epsilon_{2}<2 a-\epsilon \)
Dann gibt es ein \( N>0 \) sodass
\( \forall n \geq N:\left|a_{n}-a\right|<\epsilon_{2} \iff -\epsilon_2 < a_n-a < \epsilon_2 \implies a-\epsilon_2 < a_n \)
\( \forall n \geq N \) mit \( n \equiv{ }_{2} 0 \) und \( m \equiv{ }_{2} 1: \)
\( \left|(-1)^{n} a_{n}-(-1)^{m} a_{m}\right|=\left|a_{n}+a_{m}\right|>\left|a-\epsilon_{2}+a-\epsilon_{2}\right|=2 a-2 \epsilon_{2}>2 a-(2 a-\epsilon)=\epsilon \)
Die Folge ist also nicht Cauchy. Mach dir noch klar, warum das Argument im allgemeinen klappt, und schreib es auf.

Comments

Vielen Dank!

Ist mein Ansatz zu b und c auch in Ordnung?

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Also b) kannst du beweisen, ich hab mich da kurz verlesen. Die eine Richtung folgt, da die Überfolge selbst eine Teilfolge ist, wenn also alle Teilfolgen gegen \(a\) konvergieren, so auch die Überfolge. Die Gegenrichtung kannst du auch recht einfach zeigen.

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Auch c) kannst du zeigen, nimm einfach das Maximum der beiden N's welches du für das epsilon bestimmt hast.