Zeigen Sie, dass (0,∞) mit ⊕ und ⊗ einen ℚ-Vektorraum bildet.

Question

Aufgabe: Auf der Menge dercreelen Zahlen x>0 sei x⊕y=xy. Für eine reelle Zahl x und eine rationale Zahl α sei α⊗x=x^a. Zeigen Sie, dass (0,∞) mit ⊕ und ⊗ einen ℚ-Vektorraum bildet.

Comments

die positiven reellen Zahlen bilden mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe

Also ( (0,∞), ⊕ ) abelsche Gruppe

ℚ Ist ein Körper. Jetzt Verträglichkeit "Addition" mit "Skalarmult." prüfen:

\( a \otimes (v \oplus w) = (v \cdot w)^a = v^a \cdot w^a = (a \otimes v) \oplus (a\otimes w) \)

\( (a+b) \otimes v = v^{a+b} = v^a \cdot v^b = (a\otimes v) \oplus (b\otimes v) \)

\( (a\cdot b) \otimes v = v^{a\cdot b} = \left(v^b\right)^a = a \otimes (b\otimes b)  \)

\( 1 \otimes v = v^1 = v \)

Somit ist es ein Vektorraum.