Zeigen Sie, dass so (V, ⊕, ⊗) wieder ein K-Vektorraum ist.

Question

Aufgabe:

a) Seien (V1, +, ·) und (V2, +, ·) K-Vektorräume. Wir definieren V := V1 × V2 und
⊕ : V × V → V, (v1, v2) + (w1, w2) := (v1 + w1, v2 + w2)
⊗: K × V → V, λ · (v1, v2) := (λ · v1, λ · v2)
Zeigen Sie, dass so (V, ⊕, ⊗) wieder ein K-Vektorraum ist.
b) Sei Abb(N, R) der R-Vektorraum der reellen Folgen, c ∈ R und
Konvc(N, R) := {a ∈ Abb(N, R)| a konvertiert gegen c}.
Untersuchen Sie, für welche c dies ein Untervektorraum von Abb(N, R) ist.
Hinweis: Sie dürfen Aussagen über konvergente Folgen aus der Analysis natürlich verwenden.

⊗ mal zeichen

Problem/Ansatz:

bei a)Eigenschaften von abelsche Gruppe überprüfen?

b) ?

Answer 1

bei a)Eigenschaften von abelsche Gruppe überprüfen?

Das reicht nicht, du musst schon alle Vektorraumaxiome prüfen.

b) Für c≠0 gilt ja

\( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = c   \)  ==>  \( \lim\limits_{n \to \infty} 2a_n = 2c \)

in Konv_c(N, R) sind aber nur die Folgen, die gegen c konvergieren.

Es muss also 2c=c gelten, und das ist nur für c=0 der Fall.

Da kann man dann alle Unterraumkriterien nachweisen.