Zeigen Sie, dass (M; ⊕, ⊗) ein Körper ist.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe und habe keine Ahnung wie ich da vorgehen muss. Habe gerade erst mit Körpern und Matrizen angefangen würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte:

Aufgabe:

Sei M die Menge aller quadratischen Matrizen der Form

\( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \)

mit a, b ∈ R

Die Verknüpfungen / Operationen ⊕, ⊗ sind so erklärt:

\( \left[\begin{array}{cc}a_{1} & -b_{1} \\ b_{1} & +a_{1}\end{array}\right] \otimes\left[\begin{array}{cc}a_{2} & -b_{2} \\ b_{2} & +a_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2} & -a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \\ a_{2} b_{1}+a_{1} b_{2} & -b_{1} b_{2}+a_{1} a_{2}\end{array}\right] \)

\( \left[\begin{array}{rr}a_{1} & -b_{1} \\ b_{1} & a_{1}\end{array}\right] \oplus\left[\begin{array}{rr}a_{2} & -b_{2} \\ b_{2} & a_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}a_{1}+a_{2} & -b_{1}-b_{2} \\ b_{1}+b_{2} & a_{1}+a_{2}\end{array}\right] \)

Zeigen Sie, dass(M; ⊕, ⊗)ein Körper ist.

Danke schon mal im Voraus

Answer 1

um zu zeigen, dass \((M, ⊕, ⊗)\) ein Körper ist, musst du die Körperaxiome untersuchen. Dazu gehört

K1) \((M, ⊕)\) ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition mit neutralem Element 0 (Hier die Nullmatrix),

K2) \((M\setminus\{0\},⊗)\) ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation mit neutralem Element 1 (Hier die Einheitsmatrix),

K3) Distributivgesetz.

Deine Elemente in \(M\) sehen dabei so aus:

\(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \)

Du nimmst dir also beliebige Elemente aus \(M\) mit dieser Form und prüfst die Eigenschaften.

Damit du ein Beispiel hast, möchte ich dir die Assoziativität in \((M, ⊕)\) einmal vorrechnen.

Für die Assoziativität gilt zu zeigen, dass für \( X,Y,Z \in M \) gilt:

\( X ⊕ (Y ⊕ Z) = (X ⊕ Y) ⊕ Z\) .

Seien dazu

\( X := \begin{pmatrix} x_a & -x_b \\ x_b & x_a \end{pmatrix}  \),

\( Y := \begin{pmatrix} y_a & -y_b \\ y_b & y_a \end{pmatrix}  \)

und

\( Z := \begin{pmatrix} z_a & -z_b \\ z_b & z_a \end{pmatrix}  \)

jeweils Elemente aus \(M\).

Also fangen wir an zu rechnen.

\( X ⊕ (Y ⊕ Z) \)

=

\( \begin{pmatrix} x_a & -x_b \\ x_b & x_a \end{pmatrix} ⊕ \left(\begin{pmatrix} y_a & -y_b \\ y_b & y_a \end{pmatrix} ⊕ \begin{pmatrix} z_a & -z_b \\ z_b & z_a \end{pmatrix}\right) \)

=

\( \begin{pmatrix} x_a & -x_b \\ x_b & x_a \end{pmatrix} ⊕ \begin{pmatrix} y_a + z_a & -y_b - z_b \\ y_b + z_b & y_a + z_a \end{pmatrix} \)

=

\( \begin{pmatrix} x_a + (y_a + z_a)& -x_b + (-y_b - z_b)\\ x_b + (y_b + z_b)& x_a + (y_a + z_a)\end{pmatrix} \)

Nun sind die Einträge alle aus \( \mathbb{R} \), in dem das Assoziativgesetz gilt. Das heißt, wie können das Assoziativ auf die einzelnen Matrixeinträge anwenden:

\( \begin{pmatrix} (x_a + y_a) + z_a& (-x_b - y_b) - z_b)\\ (x_b + y_b) + z_b& (x_a + y_a) + z_a\end{pmatrix} \)

=

...

=

\( \left(\begin{pmatrix} x_a & -x_b \\ x_b & x_a \end{pmatrix} ⊕ \begin{pmatrix} y_a & -y_b \\ y_b & y_a \end{pmatrix}\right) ⊕ \begin{pmatrix} z_a & -z_b \\ z_b & z_a \end{pmatrix} \)

=

\( (X ⊕ Y) ⊕ Z \)

Wobei ich hier die Schritte einfach rückwärts wieder angewandt habe, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen.

So machst du es nun mit allen anderen Körperaxiome. Hast du alle gezeigt und gelten auch alle, dann ist \((M, ⊕, ⊗)\) ein Körper.

Lg