Bestimmen Sie neutrale Elemente n und e bezüglich ⊕ und ⊗.

Question

Auf M = R × R definieren wir die Rechenoperationen
(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Bestimmen Sie neutrale Elemente n und e bezüglich ⊕ und ⊗. Definieren Sie eine ⊖
und eine (·)^−1 Funktion um M zu einem Körper zu ergänzen. Definieren Sie i := (0, 1).
Was ergibt i ⊗ i ? Hinweis: Ein Vergleich mit komplexen Zahlen kann die Idee für (·)^−1
liefern.

Also die neutralen Elemente n bzw. e habe ich bestimmt. n=0, e=1

Die Rechenoperation von ⊖ würde ich folgendermaßen definieren: (a,b) ⊖(c,d):=(a-c, b-d)

Jedoch weiß ich nicht genau wie ich eine (·)^−1 definieren soll bzw. wie mir ein Vergleich mit komplexen Zahlen helfen soll

Answer 1

Müssten die neutralen Elemente nicht auch Zahlenpaare sein?

Comments

Ja, n=(0,0) und e=(1,0) ;-)

Answer 2

Die Rechenoperation von ⊖ würde ich folgendermaßen definieren: (a,b) ⊖(c,d):=(a-c, b-d)

Das ist richtig.

wie mir ein Vergleich mit komplexen Zahlen helfen soll

Sei \(\varphi:\ \mathbb{R}\times \mathbb{R} \to \mathbb{C},\ (a,b)\mapsto a+b\mathrm{i}\).

Dann ist \(x\cdot y = (1, 0) \iff \varphi(y) = \frac{1}{\varphi(x)}\)