Aloha :)
Die stationären Punkte der Funktion$$f(x;y)=x^2+y^2(1-x)^3$$sind diejenigen, bei denen der Gradient verschwindet:$$0\stackrel!=\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{2x-3y^2(1-x)^2}{2y(1-x)^3}$$Gemäß des Satzes vom Nullprodukt, kann die zweite Koordinate nur \(=0\) werden, wenn \(y=0\) oder \(x=1\) gilt. Die Möglichkeit \(x=1\) scheidet aus, da dann die erste Koordinate \(=2\) ist und daher nicht verschwindet. Bleibt \(y=0\), wobei die Gleichung für die erste Koordinate dann auch \(x=0\) erzwingt. Die Funktion hat also genau einen stationären Punkt bei \((0|0)\).
Zur Klassifikation des stationären Punktes bilden wir die Hesse-Matrix bestehend aus allen 2-ten partielen Ableitungen:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}2+6y^2(1-x) & -6y(1-x)^2\\-6y(1-x)^2 & 2(1-x)^3\end{pmatrix}\quad\implies\quad H(0;0)=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$An der Stelle \((0|0)\) hat die Hesse-Matrix offensichtlich den doppelten Eigenwert \(2\), also sind alle Eigenwerte positiv und die Matrix daher positiv definit. Bei dem stationären Punkt handelt es sich also um ein lokales Minimum.
Wegen \(f(0;0)=0\) und \(f(4;0)=-11\) gibt es einen Funktionswert, der kleiner als der des lokalen Minimums bei \((0|0)\) ist, daher ist das Minimum nicht global.
