Du hast ja schon die angenommene Kontraktion \( \varphi( \cdot ) \) definiert als
$$ \varphi(x) = x - Ax + b $$
Nachzuweisen sind die Eigenschaften $$ (1) \quad \varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $$ und $$ (2) \quad \| \varphi(x) - \varphi(y) \|_1 \le k \| x - y \|_1 $$ mit \( k < 1 \)
Angenommen Du hättest das gemacht, dann folgt aus dem Banachschem Fixpunktsatz das es eine eindeutige Lösung \( \hat x \) gibt, mit $$ \varphi( \hat x ) = \hat x $$ und daraus folgt
$$ \hat x = \hat x - A \hat x + b $$ also $$ A \hat x = b $$
Eigenschaft (1) sollte klar sein. Also muss nur noch die Lipschitzstetigkeit (2) bzgl. der 1-Norm nachgewiesen werden.
$$ \| \varphi(x) - \varphi(y) \|_1 = \| x - Ax + b - y + Ay - b \|_1 = \| (I - A) (x - y) \|_1 \le \\ \| I - A \|_1 \| x - y \|_1 $$
Wegen der Voraussetzung gilt also $$ \| \varphi(x) - \varphi(y) \|_1 < \| x - y \|_1 $$
Damit ist \( \varphi(\cdot) \) Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante \( k =\| I - A \|_1 \ < 1 \) und es giibt die eindeutige Lösung, was zu beweisen war.