Wenn ⌈a⌉∈(ℤ/pℤ)* die Ordnung 3, so hat ⌈a+1⌉∈(ℤ/pℤ)* die Ordnung 6.

Question

Aufgabe:

Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: Hat ⌈a⌉∈(ℤ/pℤ)* die Ordnung 3, so hat ⌈a+1⌉∈(ℤ/pℤ)* die Ordnung 6.

Problem/Ansatz:

Also die Definition der Ordnung besagt ja, dass [a]³ = [1] gilt. Zu zeigen ist nun ja, dass [a+1]6=[1] ist. Ich komme hier allerdings auf keinen vernünftigen Ansatz. Ich habe schon probiert, [a+1]⁶ als binomische Formel hoch 6 aufzulösen und dann die Vorgabe [a]³ = [1] zu nutzen, komme aber beim Rechnen oft nicht weiter, wenn ich dann zum Beispiel in der Rechnung Ausdrücke wie [6a]⁵ stehen habe. Kann mir jemand einen Tipp geben, oder sagen, ob das vereinfachen mit der binomischen Formel hoch 6 in die richtige Richtung geht?

Comments

Es ist \( a \neq 1 \), sonst wäre die Ordnung von a gerade 1. Außerdem ist \( a^3 - 1 = 0 \). Somit ist \( a \) Nullstelle des Polynoms \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) \). Da Z/pZ Körper/nullteilerfrei muss wg \( a \neq 1 \) also \( a^2+a+1 = 0 \) sein. Das nutzen wir jetzt.

\( (a+1)^6 = a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 6a+1 = 1 + 6a^2 + 15a + 20 + 15a^2 + 6a + 1 = 21a^2 + 21a + 22 = 1 + 21(a^2+a+1) = 1 \)

Die Ordnung ist also ein Teiler von 6.

1 ist ausgeschlossen. Wenn \( a+1=1 \), dann wäre \( a = 0 \). Geht nicht

\( (a+1)^2 = a^2+2a+1 = a \neq 1 \)

\( (a+1)^3 = a^2 + a = -1 \neq 1 \)

(Denk mal nach warum \( -1 \neq 1 \) sein muss)

Ordnung ist also 6.

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Super, danke!
Auf die Lösung wäre ich alleine nicht gekommen. Ich musste zwar bei ein paar Schritten noch gut nachdenken, aber am Ende konnte ich alles nachvollziehen. :-)

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Sehr gut! Ansonsten auch gerne nachfragen :)