Aufgabe:
Ecce homo II
Wir werden in Def. \( 4.12 \) der Vorlesung sehen: Eine Abbildung \( f: V \rightarrow W \) zwischen zwei \( K \) Vektorräumen \( (V,+, \odot) \) und \( (W,+, \odot) \) ist \( K \)-linear, falls für alle \( \mathbf{v}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in V \) und alle \( r \in K \) gilt \( f\left(\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}\right)=f\left(\mathbf{v}_{1}\right)+f\left(\mathbf{v}_{2}\right) \) und \( f(r \odot \mathbf{v})=r \odot f(\mathbf{v}) . \)
Welche der folgenden Abbildungen sind \( \mathbb{R} \)-linear?
(a) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(b) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(c) \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
(d) \( \begin{aligned} \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) & \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{2} / y & \text { falls } y \neq 0 \\ 0 & \text { falls } y=0\end{array}\right.\end{aligned} \)
\( x \mapsto 2-3 x \)
\( x \mapsto x^{3}-x^{2} \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}y \\ x\end{array}\right) \)
(e) \( \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X] \)
(f) \( \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R} \)
\( A \mapsto X^{2} \cdot A \)
\( A \mapsto A(7) \)
(g) \( \mathbb{R}[X] \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)
