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Aufgabe:

Ecce homo II
Wir werden in Def. \( 4.12 \) der Vorlesung sehen: Eine Abbildung \( f: V \rightarrow W \) zwischen zwei \( K \) Vektorräumen \( (V,+, \odot) \) und \( (W,+, \odot) \) ist \( K \)-linear, falls für alle \( \mathbf{v}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in V \) und alle \( r \in K \) gilt \( f\left(\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}\right)=f\left(\mathbf{v}_{1}\right)+f\left(\mathbf{v}_{2}\right) \) und \( f(r \odot \mathbf{v})=r \odot f(\mathbf{v}) . \)
Welche der folgenden Abbildungen sind \( \mathbb{R} \)-linear?
(a) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(b) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(c) \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
(d) \( \begin{aligned} \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) & \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{2} / y & \text { falls } y \neq 0 \\ 0 & \text { falls } y=0\end{array}\right.\end{aligned} \)
\( x \mapsto 2-3 x \)
\( x \mapsto x^{3}-x^{2} \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}y \\ x\end{array}\right) \)
(e) \( \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X] \)
(f) \( \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R} \)
\( A \mapsto X^{2} \cdot A \)
\( A \mapsto A(7) \)
(g) \( \mathbb{R}[X] \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)

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Hallo

vielleicht schreibst du deine Aufgaben erst mal lesbar und zuordenbar auf?

Dann sag was daran du nicht kannst denn die Kriterien stehen ja da und sind falls man die Funktionen kennt leicht zu zeigen oder widerlegen.

Gruß lul

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