Finden Sie alle lokalen Extremstellen von f unter einer Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Die Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch
\( \begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}\right) &:=\frac{1}{3} x_{2}^{3}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{3}{2} x_{2}^{2}-x_{1}+2 x_{2}+4 \\ g\left(x_{1}, x_{2}\right) &:=2 x_{2}-x_{1} \end{aligned} \)
Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von \( f \) unter der Nebenbedingung \( g(x)=0 \), d. h. finden Sie alle lokalen Extremstellen von \( f \) auf der Menge \( M:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: g(x)=0\right\} \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe \(x\) statt \(x_1\) und \(y\) statt \(x_2\), um mir Inidzes zu sparen.$$f(x;y)=\frac13y^3+\frac12x^2-\frac32y^2-x+2y+4\to\text{Ext!}\quad;\quad g(x;y)=2y-x\stackrel!=0$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da hier nur eine Nebenbedingung vorliegt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}{g(x;y)}\quad\implies\quad\binom{x-1}{y^2-3y+2}=\lambda\binom{-1}{2}$$

Da uns der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) nur stört, dividieren wir die Gleichung der zweiten Koordinaten durch die der ersten Koordinate:$$\frac{y^2-3y+2}{x-1}=\frac{2\lambda}{-\lambda}=-2\implies\frac{x-1}{y^2-3y+2}=-\frac12\implies x=1-\frac{y^2-3y+2}{2}$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0\stackrel!=2y-\left(1-\frac{y^2-3y+2}{2}\right)\implies0=4y-2+(y^2-3y+2)=y^2+y=y(y+1)$$Also ist \(y=0\) oder \(y=-1\). Mit den entsprechenden \(x\)-Koordinaten erhalten wir zwei Extremstellen:$$K_1(-2|-1)\quad;\quad K_2(0|0)$$

Comments

Schneller mit Schulmathemarik :

Nebenbedingung x = 2y bei f einsetzen liefert f(y) = 1/3 y^3 +1/2*4y^2 - 3/2y^2 - 2y + 2y +4  mit der Ableitung f'(y) = y^2 + y und ihren Nullstellen y1=0 und y2=-1 sowie aus g die zugehörigen x-Werte x1 = 0 und x2 = -2.

Fehlt noch der Nachweis, dass es wirklich Extremstellen sind.